高考数学选择题、填空题的解法

高考数学选择题、填空题的解法高考数学成绩的高低很大程度上由客观题决定.近几年的高考题中虽然常有创新题目出现，但总体难度一般不大.命题的趋势是避免繁难的运算，尽量覆盖各知识点，实现对基本知识、基本技能、基本方法、基本思想的考查，同时着力于对观察、分析、比较、简捷运算能力的考查.选择题的考查构思巧妙，概念性强，方法灵活多样，经常会设置陷阱，稍不注意，极易失分.同时由于选择题给出了明确的选择支，只要谨慎解题、充分利用选择支的特性，又容易获得高分.填空题大多能在课本中找到原型和背景，故可以化归为我们熟知的题目或基本题型，填空题不需过程，不设中间分，更易失分.也正因为不需过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.如何解好高考客观题一直是重要的研究课题，除了要求具有扎实的数学基础外，还要掌握一些常见的解题方法与技巧，要“不择手段”的解好客观题，绝不可“小题大做”所谓直接法，就是直接从题设的条件出发，运用有关的概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和计算来得出题目的结论。一、直接法【例1】已知()fx与()gx分别是定义在R上的奇函数与偶函数，若22()()log(2),fxgxxx则(1)f等于（）A,12B,12C,1D,32【解析】此题可以先求出函数f(x)的解析式，然后求解，也可以直接求f(1)，选B【例2】函数y＝sinπ3－2x＋sin2x的最小正周期是()A.π2B．πC．2πD．4π【解析】y＝32cos2x－12sin2x＋sin2x＝sin2x＋π3，T＝π，选B.【例3】抛物线2yx上的点到直线4380xy的距离的最小值是（）A、43B、75C、85D、3【解析1】设直线430xym与2yx相切，则联立方程知2340xxm，令0，有43m，∴两平行线之间的距离2248()43334d，选A解析2：利用导数求解.【例4】圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有（）Ａ.1个Ｂ.2个Ｃ.3个Ｄ.4个【解析】将圆的方程化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝(22)2,∴r＝22.∵圆心(－1，－2)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝2|121|＝2,恰为半径的一半．故选Ｃ．【例5】设F1、F2为双曲线42x－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上满足∠F1PF2＝90o，则△F1PF2的面积是（）Ａ.1Ｂ.5/2Ｃ.2Ｄ.5【解析1】12SFPF＝1，选Ａ．或者直接用结论求解：在椭圆中12212Stan2FPFFPFb，在双曲线中12212Scot2FPFFPFb解析2：利用定义求解.【例6】椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1交于A、B两点，过AB中点M与原点的直线斜率为22，则nm的值为（）Ａ.22Ｂ.332Ｃ.1Ｄ.23法一：通性通法：直线与圆锥曲线相交问题，只设不求，根与系数的关系求解.【解析2】命题：“若斜率为k(k≠0)的直线与椭圆22ax＋22by＝1（或双曲线22ax－22by＝1）相交于A、B的中点，则k·kOM＝－22ab(或k·kOM＝22ab)，”（证明留给自己）在处理有关圆锥曲线的中点弦问题中有着广泛的应用．运用这一结论，不难得到：解∵kAB·kOM＝－22ab＝－mn11＝－nm∴nm＝－kAB·kOM＝1·22＝22，故选Ａ．包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊数列、特殊图形等，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。二、特例法【例1】若函数(1)yfx是偶函数，则(2)yfx的对称轴是（）A、0xB、1xC、12xD、2x【解析】因为若函数(1)yfx是偶函数，作一个特殊函数2(1)yx，则(2)yfx变为2(21)yx，即知(2)yfx的对称轴是12x，选C【例2】△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC，则m的取值是（）A、-1B、1C、-2D、2【解析】特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有OHOAOBOC，1m，选B【例3】已知定义在实数集R上的函数y＝f(x)恒不为零，同时满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且当x0时，f(x)1，那么当x0时，一定有()A．f(x)－1B．－1f(x)0C．f(x)1D．0f(x)1【解析】取特殊函数．设f(x)＝2x，显然满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且满足x0时，f(x)1，根据指数函数的性质，当x0时，02x1，即0f(x)1.答案：D【例4】．若动点P、Q在椭圆9x2＋16y2＝144上，且满足OP⊥OQ，则中心O到弦PQ的距离OH必等于()A.203B.234C.125D.415【解析】选一个特殊位置(如图)，令OP、OQ分别在长、短正半轴上，由a2＝16，b2＝9得，OP＝4，OQ＝3，则OH＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，答案C正确．【例5】过抛物线ｙ＝ax2（a0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段FP与FQ的长分别是ｐ、ｑ，则qp11＝（）.A.2ａB.a21C.4ａD.a4【解析】由题意知，对任意的过抛物线焦点F的直线，qp11的值都是a的表示式，因而取抛物线的通径进行求解，则ｐ＝ｑ＝12a，所以qp11=4a，故应选C.【例6】已知等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130B．170C．210D．260【解析】解法1：特殊化法。令m=1，则a1=S1=30，又a1+a2=S2=100∴a2=70∴等差数列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110故应选C解法2，利用等差数列的求和公式是常数BABnAnSn,2求解【例7】（10全国Ⅱ）如果等差数列na中，34512aaa，那么127...aaa（）（A）14（B）21（C）28（D）35【解析】直接利用等差数列的性质可解，由已知得4312a，所以1274...721aaaa也可以设3453,4,5,naaaan，可以求出前7项和练习1：如果a1,a2,…,a8为各项都大于0的等差数列，公差d≠0，则（）A.a1a8a4a5B.a1a8a4a5C.a1+a8=a4+a5D.a1a8=a4a5练习2：数列na满足1211naannn，则na的前60项和为.【例8】函数tansintansinyxxxx在区间3(,)22内的图象是（）xo322yA2-xBo322y2-2xo322yC-xo322yD2-【解析】利用特殊值x=34代入即可答案选D“数缺形时少直观，形少数时难入微”---华罗庚。画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。三、数形结合法引例（2013乌鲁木齐地区三模21）已知函数)1ln()12ln(22xaaxxf，其中Ra.（1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在a的值，使得f(x)在,0上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.【例1】（2012课标4）设F1,F2是椭圆E：012222babyax的左右焦点，P为直线23ax上一点，12PFF是底角为300的等腰三角形，则E的离心率为（）（A）21(B)32(C)43(D)54【例2】(2008陕西文、理)双曲线22221xyab（0a，0b）的左、右焦点分别是12FF，，过1F作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．6B．3C．2D．33解析：做出图形，利用通径长为即可求出答案Bab22【例3】（07江苏6）设函数()fx定义在实数集上，它的图象关于直线1x对称，且当1x时，()31xfx，则有（）A、132()()()323fffB、231()()()323fffC、213()()()332fffD．321()()()233fff【解析】当1x时，()31xfx，()fx的图象关于直线1x对称，则图象如图所示。这个图象是个示意图，事实上，就算画出()|1|fxx的图象代替它也可以。由图知，符合要求的选项是B，【例4】若P（2，-1）为圆22(1)25xy的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A、30xyB、230xyC、10xyD、250xy【解析】画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A【例5】（07辽宁）已知变量x、y满足约束条件20170xyxxy，则yx的取值范围是（）A、9,65B、9,6,5C、,36,D、3,6【解析】把yx看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案，选A【例6】、（06湖南理10）若圆2244100xyxy上至少有三个不同的点到直线:0laxby的距离为22，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A、,124B、5,1212C、,63D、0,2解析1：作图，用几何方法求解即可.【解析2】圆方程化为222(2)(2)(32)xy，由题意知，圆心到直线的距离d应该满足02d，在已知圆中画一个半径为2的同心圆，则过原点的直线:0laxby与小圆有公共点，∴选B。【例7】方程coslg0xx的实根的个数是（）A、1B、2C、3D、4【解析】在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C【例8】(07天津理7)在R上定义的函数()fx是偶函数，且()(2)fxfx。若()fx在区间[1，2]上是减函数，则()fx（）A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数【解析】()fx是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B【例9】（05年四川）若ln2ln3ln5,,235abc，则（）A、abcB、cbaC、cabD、bac【解析】构造斜率即可，构造函数lnyx上的三点(2,ln2),(3,ln3),(5,ln5)和原点的斜率B根据这三个量的结构还可以考虑构造新函数，利用函数的单调性比较大小.【例10】(10年湖北)设集合A=22{(,)|1}416xyxy，B={(,)|3}xxyy,则A∩B的子集的个数是[（）A.4B.3C.2D.1【解析】考查集合的意义与数形结合思想，及一个有限集的子集的个数，在同一直角坐标系中画出221416xy和3xy的图像，知道图像有两个公共点，所以A∩B元素有2个，所以子集有4个，选A有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。四、估值判断法【例1】已知1x是方程lg3xx的根，2x是方程103xx的根，则12xx（）A、6B、3C、2D、1【解析】我们首先可以用图象法来解：如图，在同一坐标系中作出四个函数，10xy，lgyx，3yx，yx的图象，设3yx与lgyx的图象交于点A，其横坐标为1x；10xy与3yx的图象交于点C，其横坐标为2x；3yx与yx的图象交于点B，其横坐