高考数学难点突破训练―应用题1

17高考数学140分难点突破训练——应用题1.某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件。若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)xx元时，每天多卖出的件数与2xx成正比。已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件。（1）试将该商品一天的销售利润表示成x的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？w.w.w.k.s.5.u.c.o.1.（1）由题意可设，每天多卖出的件数为2()kxx，∴236(33)k，∴3k又每件商品的利润为(2012)x元，每天卖出的商品件数为2483()xx∴该商品一天的销售利润为232()(8)[483()]32124384(08)fxxxxxxxx（2）由2'()942243(4)(32)fxxxxx令'()0fx可得23x或4x当x变化时，'()fx、()fx的变化情况如下表：x02(0,)3232(,4)34(4,8)8'()fx—0+0—()fx384↘极小值43769↗极大值432↘0∴当商品售价为16元时，一天销售利润最大，最大值为432元2.商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款．（1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款；（2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，81.05＝1.4774）2.依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．（1）设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元．依题意有2%)51(%)51(1[62…11%)51(500]%)51(nn．17化简得105.125)105.1(62nn．∴7343.105.1n．两边取对数整理得28.110212.02391.005.1lg7343.1lgn．∴取n＝12（年）．∴到2014年底可全部还清贷款．（2）设每生和每年的最低收费标准为x元，因到2010年底公寓共使用了8年，依题意有2%)51(%)51(1)[18100001000(x…97%)51(500]%)51(．化简得9805.1500105.115.10)181.0(x．∴992)2.8118(10)14774.14774.105.12518(10)105.105.12518(1089x（元）故每生每年的最低收费标准为992元．3.（理）某城市2004年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食x万吨。（1）记2004年末的粮食储备量为a1万吨，此后各年末的粮食储备量为a2万吨，a3万吨，……，写出a1，a2，a3和an(n∈N*)的表示式；（2）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？3.（理）（1）a1=100，a2=0.95×100+x，a3=0.95a2+x=0.952×100+0.95x+x对n2有：an=0.95an—1+x=0.952an—2+(x+0.95x)=…=0.95n—1a1+x(1+0.95+…+0.95n—2)=11195.0)20100(2005.095.0110095.0nnnxxx（2）当100-20x≥0，即x≤5时100121aaaann当100-20x0，即x5时，xxxannnn20]95.0)20100(20[1limlim此时{an}逐项增加，可任意接近20x依题意可知：150na即20x150，∴x7.5∴每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨173、（文）某地区预计明年从年初开始的前x个月内，对某种商品的需求总量f(x)（万件）与月份x的近似关系为：)12*,)(235)(1(1501)(xNxxxxxf且（1）写出明年第x个月的需求量g(x)（万件）与月份x的函数关系，并求出哪个月份的需求量最大，最大需求量是多少？（2）如果将该商品每月都投放市场P万件（销售未完的商品都可以在以后各月销售），要保证每月都足量供应，问P至少为多少万件？（文）（1）)(251133211501)1()1(万件fg当2n时，g(x)=f(x)-f(x-1))237()1(1501)235)(1(1501xxxxxx)]37392()35332[(150122xxxxx)12(251)672(1501xxxx当x=1时，g(x)=g(1)也适合上式)12)(12(251)(xNxxxxg且又2536]2)12([251)(2xxxg等号当且仅当x=12-x即x=6时成立，即当x=6时，2536)(maxxg（万件）∴6月份该商品的需求量最大，最大需求量为2536万件。（2）依题意，对一切}12,,2,1{x，有)()()2()1(xfxgggPx)12,2,1()235)(1(1501xxxP令]81369)433(2[1501)23335(1501)(22xxxxh150171)8()(maxhxh150171P答每个月至少投入150171万件可以保证每个月都足量供应。174.7月份，有一款新服装投入某市场销售，7月1日该款服装仅销售出3件，7月2日售出6件，7月3日售出9件，7月4日售出12件，尔后，每天售出的件数分别递增3件直到日销售量达到最大（只有1天）后，每天销售的件数开始下降，分别递减2件，到7月31日刚好售出3件。（1）问7月几号该款服装销售件数最多？其最大值是多少？（2）按规律，当该商场销售此服装达到200件时，社会上就开始流行，而日销售量连续下降并低于20件时，则不再流行，问该款服装在社会上流行几天？说明理由。4.（1）设7月n日售出的服装件数为,131nanNn，,4kakNk为最大。3312(31)3kkakak，-13,39kka，7月13日该款服装销售件数最多，最大值为39件。（2）设nS是数列na的前n项和，3,113652,1431nnnann，nN33,1132273(51)(13),1431nnnnSnnn13273200S，由113n时，200nS得12n，由1431n时，20na得23n，从7月12日到7月22日共11天该款服装在社会上流行。5.如图，某海滨浴场的岸边可近似的看成直线，位于岸边A处的救生员发现海中B处有人求救，救生员没有直接从A处游向B处，而沿岸边自A跑到距离B最近的D处，然后游向B处，若救生员在岸边的行速为6米/秒，在海中的行进速度为2米/秒，⑴分析救生员的选择是否正确；⑵在AD上找一点C，是救生员从A到B的时间为最短，并求出最短时间。300米ACDB175.⑴由A直接游向B处的时间为2150245sin3000t（秒）。由A经D到B的时间为200230063002t（秒），而2002150，因此，救生员的选择是正确的。⑵设∠BCD=α，则CD=300cosα/sina，BC=asin300，AC=300-300cosa/sina。于是从A经C到B的时间为sin150sincos5050sin23006cot300300t=)sincossin31(50=)2tan12tan22tan12tan131(50222a=)2tan22tan11(50≥)221(50=210050当且仅当2tan12tan2，即22tan,222tan时，上式等号成立。此时，CD=275tan300（米）时，t取得最小值为210050秒。因此，点C应选在沿岸边AD，距D点275米处，才能使救生员从A到B所用时间最短，最短时间为210050秒。6.某企业甲将经营状态良好的某种消费品专卖店以58万元的优惠价转让给企业乙，约定乙用经营该店的利润偿还转让费（不计息）。已知经营该店的固定成本为6.8万元/月，该消费品的进价为16元/件，月销量q（万件）与售价p(元/件)的关系如图.(1）写出销量q与售价p的函数关系式；（2）当售价p定为多少时，月利润最多？（3）企业乙最早可望在经营该专卖店几个月后还清转让费？pq1252203160176.（1）.2520,651;2016,741ppppq（2）设月利润为W（万元），则W=（p－16）q－6.8=.2520,8.6)16)(651(;2016,8.6)16)(741(pppppp当;2.1,20,2.2)22(41,2016max2WppWp时当当3,23,3)23(51,2520max2WppWp时当∴当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元（3）设最早n个月后还清转让费，则,20,583nn∴企业乙最早可望20个月后还清转让费7.随着我国加入WTO，某企业决定从甲、乙两种产品中选择一种进行投资生产，打入国际市场。已知投资生产这两种产品的有关数据如下表（单位：万美元）项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多生产的件数甲产品30a10200乙产品50818120其中年固定成本与生产的件数无关，a为常数，且4≤a≤8。令外，年销售x件乙产品时需上交0.05x2万美元的特别关税。（１）写出该厂分别投资生产甲、乙两种产品的年利润y1,y2与生产相应产品的件数x(x)N之间的函数关系式；（２）分别求出投资生产这两种产品的最大年利润；（３）如何决定投资可获最大年利润。（４）7.12212(1)(10)30,0200,;0.051050,0120,,(2)1970200,45031970200450,7.6.yaxxxNyxxxxNyayaa最大最大。（）令得（５）当46.7a时，投资甲产品；当7.6a8时，投资乙产品；当a=7.6时，投资甲、乙两产品均可。178.设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为x，盈利额为y。（Ⅰ）求y与x之间的函数关系；（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：可选用数据：21.41,31.73,52.24.8.（Ⅰ）根据题意，当购票人数不多于100时，可设y与x之间的函数关系为30500yxkx.∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，∴3025500250k，解得50.k∴3050500(,100),3050700(,100).xxxNxyxxxNx（Ⅱ）框图如下：（Ⅲ）设每张门票价格提高为m元，根据题意，得2050205000m∴255536.2m。从而，每张门票最少要37