货币效用函数辨析

货币效用函数辨析内容摘要：货币的边际效用递减理论源自于著名数学家DanielBernoulli（1738）为解决“圣彼得堡悖论”而提出的效用函数解决方案。然而，王文辉在《圣彼得堡悖论新解与不确定性估值》中证明了Bernoulli的效用函数解决方案是不成立的，因此，货币的边际效用递减是颇值得怀疑的。本文对传统效用理论进行了更深入的分析和阐述，得到了一个效用函数族，并且首次提出了“效用阈限漂移”现象。进而通过理论和实验两方面证明了货币的边际效用并非是单调递减的，而且效用函数与人们的风险偏好没有任何关系，从而纠正了微观金融经济学基础理论中长期存在的误区，为新的研究开辟了方向。关键词：边际效用，效用函数，风险偏好，风险厌恶1.传统效用及效用函数理论回顾1.1贝努利与圣彼得堡悖论――最初的肇始著名数学家丹尼尔.贝努利（Bernoulli,D.1738）于1738年提出了货币的边际效用递减理论，其目的在于解决“圣彼得堡悖论”。“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。由于各个结果之间是相互独立的，因此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111()24822482nnE这是无数个1求和，等于无穷大。由于游戏的次数没有限制，该游戏的数学期望值是无限的。问题是人们对于参加这样一个理论上收益的数学期望无穷大的‘游戏’会支付多少费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元参加这一游戏。人们对参与这种游戏所愿支付的有限费用与其无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。贝努利对于这个问题给出一种解决办法，他认为人们真正关心的是货币的效用而非它的价值量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。贝努利将货币的效用测度函数用货币值的对数来表示，从而所有结果的效用期望值之和将为一个有限值，则理性决策应以4元为界。1.2马歇尔《经济学原理》中的疏漏和疑惑马歇尔是古典经济学体系的集大成者，他的《经济学原理》（马歇尔，1938）奠定了微观经济分析的基础。他在《经济学原理》中也讨论了边际效用递减规律及货币的边际效用。综合马歇尔的论述，关于我们讨论的边际效用主要有以下观点：1、边际效用是递减的在《经济学原理》的论述中，马歇尔多次谈到货币的边际效用是递减的。①在“原理”的115页，马歇尔写道“换句话说，一个人越是富有，货币的边际效用对他就越小；他的资产每有增加，他对任何一定的利益所愿付出的价格就随之增加。同样，他的资产每有减少，货币对他的边际效用就随之增大，他对任何利益所愿付出的价格也就随之减少。”②在“原理”的149页，马歇尔又写道“值1镑的满足对一个普通的穷人比对一个普通的富人值1镑的满足要大得多。”2、边际效用并非单调递减在论述边际效用递减规律时，马歇尔注意到边际效用并非单调递减的问题：“在这里，我们可以注意以下这样一个事实，虽然它没有多大的实际重要性：一样商品数量很少，也许不足以满足某一特殊的欲望；因此，当消费者得到足够的数量，使他能达到所要达到的目的时，他的愉快就有超过比例的增加。例如，如果糊满房内的墙壁需要十二张糊壁纸，十张就不够，则任何人从十张糊壁纸所得到的愉快，比从十二张糊壁纸所得的愉快在比例上为少。”（马歇尔，1938）1.3阿罗――建立在期望效用假设上的凹函数货币的边际效用递减律对理论界最大的影响之一是基于这个理论建立的各种效用函数，包括HARA函数族，尤其是负指数效用函数，这些效用函数已经成为微观金融研究的基本工具，广泛用于研究人们的消费和投资决策以及面临不确定条件下的选择。很多重要的微观金融的理论成果均是借助以上效用函数完成的。根据对现有文献的检索和研究，这一理论支脉发展的主干脉络大致如下：1965年，阿罗根据“期望效用假设”（theexpected-utilityhypothesis）提出风险厌恶的凹效用函数，在此基础上提出相对风险厌恶系数和绝对风险厌恶系数（Arrow,K.J.,1965）。普拉特也在同一时间得到了相同的结果(Pratt,J.,1964)，因此，学术界合称为“阿罗－普拉特风险厌恶系数”。1971年，阿罗对风险厌恶模型的逻辑基础“期望效用假设”（theexpected-utilityhypothesis）进行了论证，从而构造了一个完整的理论体系。在“阿罗－普拉特风险厌恶模型”发表后，学术界展开了许多代表不同风险厌恶程度的效用函数的研究，其中最典型和著名的是1971年，默顿构造了双曲绝对风险厌恶函数族（hyperbolicabsoluteriskaversion,HARA）,在此基础上得到了连续时间最优消费和投资组合的显式解（Merton,R.C.,1971）。随后，以边际效用递减的特征来表示风险厌恶的效用函数成为微观金融通用的研究工具，这些效用函数应用于数理金融模型可以得到各种微观金融问题的显式解。其数学表达的漂亮已经让微观金融研究形成了某种路径依赖，很少有人对其合理性进行探究。我们就顺着其发展的脉络来从理论逻辑上来探究一下其合理性吧。1.3.1默顿的HARA函数族（Merton,R.C.,1971,p389）假设某个人的效用函数可以写成(,)()tUCteVC，这里V是一族效用函数，其绝对风险厌恶系数对于消费C是一条正的双曲线，即：'''()/1//01CACVV而且须满足：1;0;0;11CifHARA（hyperbolicabsoluterisk-aversion）函数族的效用函数都可写成：(1)()1CVC从以上的推导可以看出，HARA函数族构建的关键是“其绝对风险厌恶系数对于消费C是一条正的双曲线”，而绝对风险厌恶系数则来自于阿罗（Arrow,K.J.,1965）和普拉特(Pratt,J.,1964)。两人的工作相类似，但阿罗的影响要大的多，我们在这里进一步分析阿罗（Arrow,K.J.,1965）的风险厌恶模型。1.3.2.阿罗的风险厌恶模型（Arrow,K.J.,1965）在这篇关于风险厌恶的文章的开头(p147)，阿罗开宗明义地写道（Arrow,K.J.,1965）：“在本文中，我要更明确地讨论风险厌恶的量度，而且将显示，这些量度与期望效用假设一起，如何在相关的经济理论中推导出定量的而不仅仅是定性的结果。”在分析了风险厌恶假设的合理性之后，阿罗写道――让我们使用贝努利的期望效用假设来探究风险厌恶的更具体的特征。令Y=财富U(Y)＝财富Y的总效用U/(Y)=财富的边际效用U//(Y)=财富的边际效用对财富的变化率（即总效用的二次导数）我们可以始终假设财富具有非饱和性：U/(Y)0，即效用是财富的严格单调增函数。设某人的财富为Y0，面临一个以相同的概率赢得或损失h的公平抽奖。于是他面临的选择相当于以概率1获得Y0，或者在随机变量收入Y0＋h或Y0－h之间进行选择，这两个随机变量的概率都是0.5。一个风险厌恶者当然偏好固定性收入，根据期望效用假设：000()(1/2)()(1/2)()UYUYhUYh或者，改写成：0000()()()()UYUYhUYhUY由于财富的相等变动而导致的总效用的差额随着财富的增加而减少；于是，一个大家很容易证明的结论就是，风险厌恶者的效用函数具有如下性质：/()UY随着Y的增加而严格减小。于是阿罗在此基础上构建了相对风险厌恶系数和绝对风险厌恶系数：///()()/()ARYUYUY=绝对风险厌恶系数///()()/()RRYYUYUY＝相对风险厌恶系数正是基于以上结论，许多学者研究了各种形式的表示绝对风险厌恶的效用函数。因此我们说阿罗的风险厌恶模型是现在通用的边际效用递减型效用函数的发源地，也是将风险偏好与效用函数的形态相互关联的肇始者，我们后面将证明这个理论模型是错误的。2.边际效用分析为了方便论述，下面给出本文的几个概念：我们把产生效用的人称为“效用主体”，对效用主体产生效用的事物称为“效用源”。而根据得到效用源的方式的不同，我们可以把效用分为“可购型效用”与“非购型效用”：能够用金钱买到的效用源带来的效用是可购型效用，不能够用金钱买到的效用源带来的效用是非购型效用。例如，具体的商品给我们带来的效用是可购型效用，而金钱本身、荣誉、感情甚至考试分数等等带给我们的效用就是非购型效用。2.1效用的量度“效用”是人的一种主观感受和评价，对“效用”的度量更是一种完全主观的概念。马歇尔（1938）指出：“效用是被当作与愿望或欲望相互有关的名词。我们已经说过：愿望是不能直接衡量的，而只能通过它们所引起的外部现象加以间接的衡量：而且在经济学上主要研究的那些事例上，这种衡量是以一个人为了实现或满足他的愿望而愿付出的价格来表现的。”因此，按照马歇尔（1938）创立的效用理论，可购型效用等于其效用主体为得到效用源所愿付出的最大价格，而这个最大价格与购买价格之间的差额就是消费者剩余。然而非购型效用是无法用价格（货币）衡量的，但同样可以效用主题为了得到这一非购型效用而付出的代价（同样是非购型的）来衡量。综合以上的分析中，我们可以概括出一个度量效用的一般参照标准：结论1效用源的效用可以用效用主体为得到它而愿意付出的代价来衡量。如果某效用主体面对A、B两个效用源，得到A事物的代价大于得到B事物的代价，而该效用主体愿意为了得到A而付出比得到B更大的代价，我们可以判断，对效用主体来讲，A的效用要大于B的效用，或者说对A的偏好要大于B。2.2边际效用及其递减规律边际效用就是效用源增加一定增量而给效用主体带来的的增加的满意程度，或者说是最后增加的一单位效用源给效用主体带来的效用的增加量。“边际效用递减规律”是指：在其他条件不变的情况下，在一定时间内消费者消费某特定商品或服务，随着商品或服务的数量不断增加，对消费者产生的效用的增量即边际效用不断减少。按照本文的概念系统，传统的边际效用递减规律可以如下表述：随着效用主体所享用某一种效用源的数量的增加，效用主体所得到的总的效用会增加，但边际效用会随之减少。边际效用递减规律成立的一个显而易见的理由是：由于生理条件的限制，人对任何具体商品的消费量都是有限度的，超过一定的限度，商品带给人的总效用将不再增加，甚至可能下降（即边际效用为负）。由简单的数学知识我们可以判断，当消费量增加到一定数值的时候，边际效用一定是递减的，最终将趋于0,甚至可能为负。一般理解的边际效用理论都认为边际效用是单调下降的，即第一个消费的单位的效用最大，而后随着消费量的增加，每一单位（消费）对象的边际效用逐渐减少，直到变为零，这时人对于这一对象的效用达到最大。这种理解并不确切。阿诺德（Arnold，2004）认为，“边际效用递减规律（或者原理）是指，随着消费量的增加，消费等量的后续单位商品得到的边际效用最终将会下降。这里的关键词是“最终”。这个版本的边际效用递减规律和威廉.斯坦利.杰文斯对此的表述是一致的，杰文斯是边际效用理论的创始人之一。杰文斯认为：‘效用等级会随着商品的数量而发生变化，随着数量的增加效用最终会下降。’”马歇尔（1938）也提到了类似的观点，我们在本文第三部分会详细讨论。一般人对边际效用递减规律之所以产生单调递减的错觉，是因为人们是在消费意愿全部得到满足后去回忆第一个消费单位的效用的，试想，如果不考虑后续消费，仅仅消费第一个单位，人们还会认为这个单位的效用很大吗？假设一个饥肠辘辘的人，其饭量是200克米，而要消除饥饿感最少要100克米，如果以10克为一个消费单位，如果仅仅给他消费一个单位（即第一个单位），那么这一单位带给他的边际效用能有多大呢？让我们设想一个更极端的场景：一个在沙漠中快要渴死的人甲碰