2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷2,含解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试课标II理科数学【命题特点】2017年高考全国新课标II数学卷，试卷结构在保持稳定的前提下，进行了微调，一是取消试卷中的第Ⅰ卷与第II卷，把解答题分为必考题与选考题两部分，二是根据中学教学实际把选考题中的三选一调整为二选一。试卷坚持对基础知识、基本方法与基本技能的考查,注重数学在生活中的应用。同时在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，与2016年相比难度稳中有降略。具体来说还有以下几个特点：1.知识点分布保持稳定小知识点集合，复数，程序框图，线性规划，向量问题，三视图保持一道小题的占比，大知识点三角数列三小一大，概率统计一大一小，立体几何两小一大，圆锥曲线两小一大，函数导数三小一大(或两小一大)。2.注重对数学文化与数学应用的考查教育部2017年新修订的《考试大纲（数学）》中增加了数学文化的考查要求。2017高考数学全国卷II理科第3题以《算法统宗》中的数学问题为进行背景，理科19题、文科18题以以养殖水产为题材，贴近生活。3.注重基础，体现核心素养2017年高考数学试卷整体上保持一定比例的基础题，试卷注重通性通法在解题中的运用，另外抽象、推理和建模是数学的基本思想，也是数学研究的重要方法，试卷对此都有涉及。【命题趋势】1.函数知识：函数性质的综合应用、以导数知识为背景的函数问题是高考命题热点，函数性质重点是奇偶性、单调性及图象的应用，导数重点考查其在研究函数中的应用，注重分类讨论及化归思想的应用。2.立体几何知识：立体几何一般有两道小题一道大题，小题中三视图是必考问题，常与几何的面积与体积结合在一起考查，解答题一般分2进行考查。3．解析几何知识：解析几何试题一般有3道，圆、椭圆、双曲线、抛物线一般都会涉及，双曲线一般作为客观题进行考查，多为容易题，解答题一般以椭圆与抛物线为载体进行考查，运算量较大，不过近几年高考适当控制了运算量，难度有所降低。4.三角函数与数列：三角函数与数列解答题一般轮流出现，若解答题为数列题，一般比较容易，重点考查基本量求通项及几种求和方法，若解答题为三角函数，一般是解三角形问题，此时客观题中一般会有一道与三角函数性质有关的题目，同时客观题中会有两道数列题，一易一难，数列客观题一般具有小巧活的特点。【试卷解析】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.31ii（）A．12iB．12iC．2iD．2i【答案】D【解析】试题分析：由复数除法的运算法则有：3+13212iiiii，故选D。【考点】复数的除法【名师点睛】复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除。除法实际上是分母实数化的过程。在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化。2.设集合1,2,4，240xxxm。若1，则（）A.1,3B.1,0C.1,3D.1,5【答案】C3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A．90B．63C．42D．36【答案】B【解析】试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V，上半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱的一半，其体积22136272V，该组合体的体积为：12362763VVV。故选B。【考点】三视图；组合体的体积【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线。在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解。5.设x，y满足约束条件2330233030xyxyy，则2zxy的最小值是（）A．15B．9C．1D．9【答案】A6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【答案】D【解析】试题分析：由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有24C种方法，然后进行全排列33A即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336CA种方法。故选D。【考点】排列与组合；分步乘法计数原理【名师点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步。具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)。(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配。在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法。7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩【答案】D8.执行右面的程序框图，如果输入的1a，则输出的S（）A．2B．3C．4D．5【答案】B(3)按照题目的要求完成解答并验证。9.若双曲线C:22221xyab（0a，0b）的一条渐近线被圆2224xy所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】A10.已知直三棱柱111CC中，C120，2，1CCC1，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A．32B．155C．105D．33【答案】C11.若2x是函数21()(1)xfxxaxe的极值点，则()fx的极小值为（）A.1B.32eC.35eD.1【答案】A【解析】试题分析：由题可得12121()(2)(1)[(2)1]xxxfxxaexaxexaxae因为(2)0f，所以1a，21()(1)xfxxxe，故21()(2)xfxxxe令()0fx，解得2x或1x，所以()fx在(,2),(1,)单调递增，在(2,1)单调递减所以()fx极小值为111(111)1fe，故选A。【考点】函数的极值；函数的单调性【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同。(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。12.已知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则()PAPBPC的最小是（）A.2B.32C.43D.1【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则D。【答案】1.9614.函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是。【答案】1【解析】试题分析：化简三角函数的解析式：2223131cos3coscos3coscos1442fxxxxxx，由自变量的范围：0,2x可得：cos0,1x，当3cos2x时，函数fx取得最大值1。【考点】三角变换，复合型二次函数的最值。【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。15.等差数列na的前n项和为nS，33a，410S，则11nkkS。【答案】21nn【解析】试题分析：设等差数列的首项为1a，公差为d，由题意有：1123434102adad，解得111ad，数列的前n项和111111222nnnnnnnSnadn,裂项有：1211211kSkkkk，据此：11111111221......21223111nkknSnnnn。【考点】等差数列前n项和公式；裂项求和。【名师点睛】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。16.已知F是抛物线C:28yx的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN。【答案】6【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）ABC的内角ABC、、所对的边分别为,,abc，已知2sin8sin2BAC，（1）求cosB；（2）若6ac，ABC的面积为2，求b。【答案】(1)15cos17B；(2)2b。18.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：22()()()()()nadbcKabcdacbd【答案】(1)0.4092；(2)有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；(3)52.35kg。（2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量50kg箱产量50kg≥旧养殖法6238新养殖法346622200626634381