2.3.1平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示

2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量正交分解及坐标表示一般地,实数与向量的积是一个向量,记作:aa(1)(2)当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相同;(3)当时,或时,|;|||||aa000a0aaaa0a一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下:二、数乘的运算律：(2)第一分配律:(1)结合律:(3)第二分配律:aa)()(aaa)(baba)(1.定理:向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得.abab三、向量共线的充要条件：2).证明三点共线:直线AB∥直线CDAB=λCDAB∥CD利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.2.定理的应用：1).证明向量共线3).证明两直线平行:AB与CD不在同一直线上又B为公共点A,B,C三点共线AB∥BCAB=λBC设、是同一平面内的两个不共1e2e线的向量，a是这一平面内的任一向量，1e2e我们研究a与、之间的关系。1ea2e研究OC=OM+ON=21OA+OB11e2e2即a=+.1ea1eA2eOaCB2eNMMN平面向量基本定理一向量a有且只有一对实数、使21共线向量，那么对于这一平面内的任如果、是同一平面内的两个不1e2e11ea=+2e2示这一平面内所有向量的一组基底。我们把不共线的向量、叫做表1e2e（1）一组平面向量的基底有多少对？（有无数对）思考EFFANBaMOCNMMOCNaE思考(2)若基底选取不同，则表示同一向量的实数、是否相同？21（可以不同，也可以相同）OCFMNaEEABNOC=2OB+ONOC=2OA+OEOC=OF+OE(1)不共线的向量叫做这一平面内所有向量的一组基底;12,ee平面向量基本定理:(4)基底给定时,分解形式唯一.(2)基底不唯一;12e,e0如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使1122aee12,12,eea(3)任一向量都可以沿两个不共线的方向（的方向）分解成两个向量（）和的形式；a12,ee1122,ee说明：向量的夹角)1800(两个非零向量和，作，ab,OAaOBb180与反向abOABabOAa0BbbAOBab则叫做向量和的夹角记作ab90与垂直，abOABab注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是同起点的与同向abOABaba例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2.于是OC就是所求作的向量.(2)作OACB.e1e2OC作法：(1)任取一点o,作OA=-2.5e1,OB=3e2-2.5e1AB3e2向量的正交分解12112212,,eeeeee　　一个平面向量用一组基底表示成ａ的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立aaxiyj则称（x，y）是向量的坐标aji如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.ij、记作：(,)axy（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)aa注意：a(4)如图以原点O为起点作，点A的位置被唯一确定.aOAaOxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示aaji(x,y)A此时点A的坐标即为的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)a注意：（3）两个向量相等的充要条件：1122(,),(,)axybxy(6)22axy例1．如图，用基底，分别表示向量并求它们的坐标．解：由图可知1223aAAAAij(2,3)a　同理，23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dij平面向量的坐标表示,,,abcdjiA1AA2yxO1abcdij课后作业:作业本小结回顾一、对平面向量基本定理的理解：e1,e2是平面向量内两个不共线的固定向量，则任意向量a可以在这两个向量的方向上进行分解。当|e1|=|e2|=1且e1与e2垂直时，就可以建立直角坐标系，这为下一节学习向量的坐标表示奠定了基础。二、两类问题：1.用一组基底表示任一向量2.由一组基底的线性组合求作向量作业：习题5.3P110---6,715.2e23e2135.2ee15.2e23eO问:能否作出向量使成立？这样的有几个？1122aeea,a已知向量（如图），及实数λ1=-2.5，λ2=321,ee1e2e1e2ea已知向量及向量（如图）21,eea问:能否找出实数对λ1与λ2使成立？而这样的λ1与λ2有多少对？1122aee1e2eaO22e11e