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版权所有：中华资源库版权所有：中华资源库届高考数学三模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜03．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1B．2C．D．36．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥lB．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α版权所有：中华资源库．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4xB．y2=2xC．y2=8xD．y2=6x9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足aea=beb．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π11．（5分）若函数f（x）=cos2x+asinx在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，4]D．（Ⅰ）6人站成一排，甲站在乙的前面（甲、乙可以不相邻）的不同站法种数；（Ⅱ）6人站成一排，甲、乙相邻，且丙与乙不相邻的不同站法种数；（Ⅲ）把这6名学生全部分到4个不同的班级，每个班级至少1人的不同分配方法种数；（Ⅳ）6人站成一排，求在甲、乙相邻条件下，丙、丁不相邻的概率．20．（12分）抛物线C1：x2=4y在点A，B处的切线垂直相交于点P，直线AB与椭圆C2：+=1相交于C，D两点．（1）求抛物线C1的焦点F与椭圆C2的左焦点F1的距离；（2）设点P到直线AB的距离为d，试问：是否存在直线AB，使得|AB|，d，|CD|成等比数列？若存在，求直线AB的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．（Ⅰ）求f（x）的最大值；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣ax2（a≥0），l是曲线y=g（x）的一条切线，证明：曲线y=g（x）上的任意一点都不可能在直线l的上方；（Ⅲ）求证：（1+）（1+）（1+）…＜e（其中e为自然对数的底数，n∈N*）．版权所有：中华资源库、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写清题号．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）选修4﹣1几何证明选讲已知△ABC中AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧，上的点（不与点A、C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F．（I）求证．∠CDF=∠EDF（II）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ=4sinθ．（1）求直线l与曲线C的平面直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于不同的两点A、B，若|AB|=8，求α的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|（a∈R）（1）当a=4时，求不等式f（x）≥5的解集；（2）若f（x）≥4对x∈R恒成立，求a的取值范围．吉林省长春实验中学2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i为虚数单位）的共轭复数为（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：复数分母实数化，然后求出复数的共轭复数即可．版权所有：中华资源库解答：解：==1+i．∴所求复数的共轭复数为：1﹣i．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力．2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．对任意x∈R，都有x2＜0B．不存在x∈R，都有x2＜0C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0考点：命题的否定；全称命题．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．故选D．点评：本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题．4．（5分）设等比数列{an}中，前n项之和为Sn，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：由S6减S3得到a4+a5+a6的值，然后利用等差比数列的性质找出a4+a5+a6的和与a1+a2+a3的和即与S3的关系，由S3的值即可求出公比q的值，然后再利用等比数列的性质求出a7+a8+a9的值．解答：解：a4+a5+a6=S6﹣S3=7﹣8=﹣1，a4+a5+a6=a1q3+a2q3+a3q3=（a1+a2+a3）q3，所以q3=，版权所有：中华资源库=a4q3+a5q3+a6q3=．故选B．点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题5．（5分）已知向量，且，则sin2θ+cos2θ的值为（）A．1B．2C．D．3考点：三角函数的恒等变换及化简求值；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：由题意可得=0，即解得tanθ=2，再由sin2θ+cos2θ==，运算求得结果．解答：解：由题意可得=sinθ﹣2cosθ=0，即tanθ=2．∴sin2θ+cos2θ===1，故选A．点评：本题主要考查两个向量数量积公式的应用，两个向量垂直的性质；同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．6．（5分）如图，设区域D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，向区域D内随机投一点，且投入到区域内任一点都是等可能的，则点落入到阴影区域M={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤x3}的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据积分的几何意义求出区域M的面积，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．版权所有：中华资源库解答：解：根据积分的几何意义可知区域M的面积为=|=，区域D的面积为1×1=1，则由几何概型的概率公式可得点（x，y）恰好落在区域M内的概率等于，故选：A点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用积分的几何意义求出区域M的面积是解决本题的关键．7．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥lB．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α考点：直线与平面垂直的判定．专题：证明题；转化思想．分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选D点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．8．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4xB．y2=2xC．y2=8xD．y2=6x考点：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．解答：解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2+=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．版权所有：中华资源库点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．9．（5分）已知两个实数a，b（a≠b），满足aea=beb．命题p：lna+a=lnb+b；命题q：（a+1）（b+1）＞0，则下列命题正确的是（）A．p真q假B．p假q真C．p真q真D．p假q假考点：复合命题的真假．专题：导数的综合应用；简易逻辑．分析：考察函数f（x）=xex，在x∈R上的单调性即可判断出p，q的真假．解答：解：考察函数f（x）=xex，x∈R，f′（x）=（x+1）ex，令f′（x）＞0，解得x＞﹣1，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＜﹣1，此时函数f（x）单调递减．∴当x=﹣1时，函数f（x）取得极小值即最小值，∴f（x）≥f（﹣1）=﹣．对于命题p：由于a＜0，b＜0，lna+a=lnb+b不可能成立，因此是假命题；对于命题q：a＜﹣1，0＞b＞﹣1，则（a+1）（b+1）＜0，因此q也是假命题．综上可得：p，q都是假命题．故选：D．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10．（5分）已知E，F分别是矩形ABCD的边BC与AD的中点，且BC=2AB=2，现沿EF将平面ABEF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，则三棱锥A﹣FEC外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．2π考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球的半径是，由求的体积公式可得．解答：解：由题意，三棱锥A﹣FEC外接球是正方体AC的外接球，由此三棱锥A﹣FEC外接球