余弦定理(优秀课件)[1]

人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形1．2余弦定理人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形一、余弦定理1．三角形任何一边的平方等于①________，即a2＝②________，b2＝③________，c2＝④________.2．余弦定理的推论：cosA＝⑤________，cosB＝⑥________，cosC＝⑦________.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形3．余弦定理与勾股定理(1)勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中令A＝90°，则a2＝b2＋c2；令B＝90°，则b2＝a2＋c2；令C＝90°，则c2＝a2＋b2.(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则A为⑧________角，反之亦成立；若a2＝b2＋c2，则A为⑨________角，反之亦成立；若a2b2＋c2，则A为⑩________角，反之亦成立．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形二、余弦定理的应用利用余弦定理可以解决两类斜三角形问题：1．已知三边，求⑪________.2．已知两边和它们的夹角，求⑫________和⑬________.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形友情提示：理解应用余弦定理应注意以下四点：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具；(2)余弦定理是⑭________的推广，勾股定理是⑮________的特例；(3)在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以⑯________；(4)运用余弦定理时，因为已知三边求⑰________，或已知两边及夹角求⑱________，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形答案：①其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍②b2＋c2－2bccosA③c2＋a2－2cacosB④a2＋b2－2abcosC⑤b2＋c2－a22bc⑥c2＋a2－b22ca⑦a2＋b2－c22ab⑧锐⑨直⑩钝⑪各角⑫第三边⑬其他两角⑭勾股定理⑮余弦定理⑯知三求一⑰角⑱另一边人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形在解三角形时，选择正弦定理和余弦定理的标准是什么？在没有学习余弦定理之前，还会解三角形，但是学习了余弦定理后，就不会解三角形了，不知是用正弦定理还是用余弦定理．这时要依据正弦定理和余弦定理的适用范围来选择，还要依靠经验的积累．根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值一般对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[例1]在△ABC中，如果a︰b︰c＝︰6︰(3＋1)，求这个三角形的最小角．：人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：在三角形中，大边对大角，小边对小角，根据已知条件判断最小边应为a.∵a︰b︰c＝︰6︰(3＋1)，可设a＝2k，b＝6k，c＝(3＋1)k(k0)，最小角为角A，由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝6＋3＋12－423＋1×6＝22，故A＝45°.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[变式训练1]△ABC中，已知a＝2，b＝3，c＝2＋1，求A.解析：cosA＝b2＋c2－a22bc＝32＋2＋12－222×3×2＋1＝33.∴A＝arccos33.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形先用余弦定理求出第三边长，进而用余弦定理或正弦定理求出其他两个角．[例2]在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求角A、B和边c的值．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－22×(6＋2)＝8－43，∴c＝8－43＝6－22＝6－2.由正弦定理得asinA＝csinC，人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形sinA＝asinCc＝asin15°c＝2×6－246－2＝12，∵ba，sinA＝12，∴A＝30°.∴B＝180°－A－C＝135°.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[变式训练2]如图，已知AD为△ABC的内角∠BAC的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，求AD的长．分析：由余弦定理可解三角形ABC，求出BC长度；由三角形内角平分线定理可求出BD长，再解△ABD即可求出AD长．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：在△ABC中，由余弦定理：BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝32＋52－2×3×5·cos120°＝49，∴BC＝7，设BD＝x，则DC＝7－x，由内角平分线定理：在△ABD中，设AD＝y，由余弦定理：BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos∠BAD.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形即(218)2＝9＋y2－3y，整理得：(y－158)(y－98)＝0，∴y＝158或y＝98(舍去)，∴AD的长为158.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[例3]在△ABC中，a·cosA＝b·cosB，试确定此三角形的形状．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：解法1：由a·cosA＝b·cosB以及余弦定理得a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，得a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，a2b2＋a2c2－a4－a2b2－b2c2＋b4＝0，即(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0.∴a2＝b2或c2＝a2＋b2，∴a＝b或c2＝a2＋b2.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形当a＝b时，△ABC为等腰三角形；当c2＝a2＋b2时，△ABC为直角三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法2：由a·cosA＝b·cosB以及正弦定理得2R·sinA·cosA＝2R·sinB·cosB，即sin2A＝sin2B.又∵A、B∈(0，π)，∴2A、2B∈(0,2π)，故有2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[变式训练3](2010·辽宁卷)在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°B90°，0°C90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[例4](数学与日常生活)如图，某市三个新兴工业小区A、B、C决定平均投资共同建一个中心医院O，使得医院到三个小区的距离相等，已知这三个小区之间的距离分别为AB＝4.3km，BC＝3.7km，AC＝4.7km，问该医院应建在何处？(精确到0.1km或1°)人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形分析：实际问题的解决，应首先根据题意转化为三角形模型，从而运用正、余弦定理解决，要注意题中给出的已知条件．本题实际上是在△ABC中，求△ABC的外接圆的半径OB及OB与边BC的夹角．解析：依题意，O是△ABC外接圆的圆心，设半径为rkm.∵cosB＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝4.32＋3.72－4.722×4.3×3.7≈0.3171，∴△ABC为锐角三角形，sinB＝1－cos2B≈0.9484.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形由正弦定理知，AC＝2rsinB，∴r＝AC2sinB≈2.5(km)．由余弦定理知，cos∠OBC＝r2＋BC2－r22rBC＝0.74，∴∠OBC≈42°.故医院应建在△ABC的内部的点O处，使OB约为2.5km，且∠OBC约为42°.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[变式训练4]如图，甲船在A处发现了乙船在北偏东45°与A的距离为10海里的C处，正以20海里/时的速度向南偏东75°的方向航行，已知甲船速度是203海里/时．问：甲船沿什么方向，用多少时间才能与乙船相遇？人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：设t小时后相遇，则BC、AB的长分别为20t与203t.由图可知∠ACB＝120°.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB，即(203t)2＝102＋(20t)2－2×10×20t×(－12)，解得t＝12或－14(舍去)．故AB＝203×12＝103，BC＝20×12＝10.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形由正弦定理得ABsin∠ACB＝BCsin∠BAC，即sin∠BAC＝10×32103＝12，∴∠BAC＝30°，所求角为30°＋45°＝75°.∴甲船应沿北偏东75°方向航行．答：甲船应沿北偏东75°方向航行半小时后才能与乙船相遇．人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形[例5]在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若m＝(sin2B＋C2，1)，n＝(cos2A＋72，4)，且m∥n.(1)求∠A(用角度制表示)；(2)当a＝3，△ABC的面积S＝32时，求b和∠B.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形分析：(1)由平面向量共线定理可得出关于各角的一个关系式，化简之后便可求出∠A；(2)分别利用三角形面积公式及余弦定理列出关于b，c的方程，求出b，c的值，进而求出∠B.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形解析：(1)∵m∥n，∴4sin2B＋C2－(cos2A＋72)＝0，∴2[1－cos(B＋C)]－(2cos2A－1)－72＝0，①又cos(B＋C)＝－cosA，①式化简得4cos2A－4cosA＋1＝0，即(2cosA－1)2＝0，∴cosA＝12.∵0°∠A180°，∴∠A＝60°.人教版必修一·新课标·地理北师大版必修5·新课标·数学第二章解三角形(2)由题意得S＝12bcsinA＝32，即12bcsin60°＝32，∴bc＝2，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，由a＝3及bc＝2知(b＋c)2－6＝3，∴b＋c＝3或b＋c