余弦定理(公开课)2

一、实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。60BAC思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？二、化为数学问题•已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。•例：在△ABC中，已知BC=a，AC=b，∠BCA=C•求：c（即AB）ACBbac=?探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚cABbCAaCB,,设)()(babaccc2babbaa2Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac三、证明问题Cabbacos222﹚Abccbacos2222﹚)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222bac探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设﹚Baccabcos2222Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量减法的三角形法则得Cbabacos222探究：若△ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求AB边c.cABbCAaCB,,设bac同理：ABCbcaDbcosCbsinCa-bcosC222(sin)(cos)cbCabC22222sin2coscosbCaabCbC同理：ABC当是直角三角形、钝角三角形呢？Baccabcos2222Abccbacos2222探究：在△ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA的夹角为∠C，求边c.﹚(0，0)(a,0)xy(bcosC,bsinC)22)0sin()cos(CbaCbcCbaCabCb22222sincos2cosCababcos222坐标法Baccabcos2222Abccbacos22222222coscababC则同理：余弦定理CBAbacCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222思考交流：1、余弦定理如何用文字语言描述？2、余弦定理含有哪些量？已知哪些条件时可用余弦定理求解？3、余弦定理与勾股定理有何联系？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。CBAbac剖析余弦定理：（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系，从方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边；题型一、三角形的求解636303623)32(2)32(3cos22222222aaaaaaBaccab或得：解：由余弦定理得CABabc的值。求边中，已知、在例aBcb,30,32,3ABC1经检验两根均符合题意6363aa或解决实际应用问题BCA5km8km某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。60BAC4960cos85258222BC解：7BC例2、在锐角△ABC中，若a=3，b=4，求边c的取值范围。题型二、判断三角形的形状5707025710022222222ccccbcacbaabcabACB为锐角三角形解：bcacbA2cos222推论：CBAbac知识提炼：提炼：设a是最长的边，则△ABC是钝角三角形0222acb△ABC是锐角三角形0222acb△ABC是直角三角形0222acb（1）、在△ABC中，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则A=()。（2）在△ABC中,a=6,b=8,c=9求练一练：反馈练习BCAB253)2(60(1)答案：小结:三、余弦定理可以解决的有关三角形的问题：1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。2、已知三边求三个角；3、判断三角形的形状一、余弦定理的发现与证明课外作业：P10A组3、4二、余弦定理及其推论:四、数学思想：化归思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、方程的思想