余弦定理3.3公开课

千岛湖ABC创设情景引出问题千岛湖ABC思考1：用正弦定理能否直接求出A,B两处的距离？这是一个已知三角形两边a和b,和两边的夹角C，求出第三边c的问题.?bac探索研究合理猜想(1)思考2：c与C的关系，也即当C变化时，c会怎样变化。(2)考虑∠C的特殊情况。ABCbac30C90C120Cc与a,b和角C的关系角C90相同点：都含有a2+b2不同点：-2ab的系数不同30120abbac3222222bacabbac22230cos222abba90cos222abba120cos222abbac2=a2+b2-2ab·cosC猜想结果练习：已知求,60,,ACBbCAaCB.ABCBAabbaAB2222222bbaabbaabaAB22bbaaAB解：证明猜想，建构新知ABCabcCACBAB)()(∴CACBCACBABABCACACACBCBCB22cos222∴CACCACBCBAB证明：Cabbaccos2-∴222已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，CA=b求证：c2=a2+b2-2ab·cosC三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即Cabbaccos2-222Bcaacbcos2-222Abccbacos2-222适用于所有的三角形思考3：还可以用其他什么方法来证明余弦定理？余弦定理ABCabcD当角C为锐角时证明：过A作ADCB交CB于D在Rt中ADCCbCDCbADcos,sin在中CababCbCbaaCbCDCBCbBDADABcos2coscos2sin)()sin(222222222222Cabbaccos2222RtABD几何法证明当角C为钝角时证明：过A作ADCB交BC的延长线于D在Rt中ACDCbCACCDCbCACADcos)180cos(sin)180sin(在中CbaabCbCbaaCbCbaCbBDADABcos2coscos2sin)cos()sin(222222222222Cabbaccos2222bAacCBDRtABD几何法证明令C＝900222bac+=思考4：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例余弦定理是勾股定理的推广用填空,,22,,ABCCab(1)在中当为锐角时22,,ABCCab(2)在中当为直角时22,,ABCCab(3)在中当为钝角时2c2c2c剖析定理证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：)0,0(),0,(),sin,cos(CaBCbCbACabbaCbaCabCbCbaCbABcos2sincos2cos)0sin()cos(2222222222Cabbaccos2222坐标法证明千岛湖ABC?CCBCACBCAABcos22228.110cos7001338270013382235511.018732004900001790244665192228024429454361716AB答：A,B两处的距离约为1716米。（精确到1米）思考5：计算AB间的距离？解决问题例1、(1)在△ABC中，已知a=1,b=1cm,C=120，解三角形.(2)已知△ABC的三边长a=3,b=4,c=,求三角形的最大内角.37应用分析，突破难点Cabbaccos2222Bcaacbcos2222Abccbacos2222abcbaC2cos222bcacbA2cos222acbcaB2cos222利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角;（2）已知两边和它们的夹角，求第三边，进而还可求其它两个角。余弦定理变形式剖析定理思考6：余弦定理有什么用途？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理思考7：(1)这5个解三角形的问题有什么共同特点？(2)已知三角形的三个角，能否求出三角形的三条边？解三角形两大核武器孪生兄弟至少已知一边否剖析定理课后思考：在△ABC中，，判断三角形的形状.34coscosabBA应用分析，突破难点思维提升：（1）在△ABC中，若,求△ABC的最大内角；（2）在△ABC中，已知a:b:c=3:5:7,求△ABC的最大内角；（3）在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:3:4,则cosA:cosB:cosC=.,10,13,13cba1.余弦定理2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC3.余弦定理的作用：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角；（2）已知三边求三个角.2.余弦定理与勾股定理的关系归纳小结，完善认知思考8：本节课你学到了哪些知识与方法？知识方面：思想方面：数形结合；分类讨论；转化化归