余弦定理优质课

1、正弦定理可以解决三角形中的问题：①已知两角和一边，求其他角和边②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：复习回顾：RCcBbAa2sinsinsin正弦定理：3、大角对大边，大边对大角4、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化复习回顾：2、A+B+C=π隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC已知：AB、AC、角Ａ(两条边、一个夹角)实际问题实际问题数学化:在△ABC中，已知边AC，BC及∠C,求AB.ABc分析转化任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边.c=?若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b及∠C，求AB边长c.即ABcab一般化问题0222∴AB=AC+2ACCBcos(180-C)+CB证明：222∴c=a+b-2abcosC向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCaCabbaccos2222证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C坐标法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB余弦定理ABCabc余弦定理问题1：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？剖析定理勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析定理222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA222090cbaA222090cbaAabcbaC2cos222问题2：公式的结构特征怎样？剖析定理（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.解：方法一：根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82，∴a≈41(cm).{接上页}由正弦定理得，因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利用计算器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.例1在△ABC中，已知b=60cm，c=34cm，A=41°，解三角形（角度精确到1°，边长精确到1cm）.根据余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41o≈1676.82，∴a≈41(cm).由余弦定理得所以利用计算器可得C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.方法二：注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的两个角时，应先求最小的边所对的角.思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什么利弊呢？例2、在ABC中，已知a＝7，b＝10，c＝6，求A、B和C.解：b2＋c2－a22bc∵cosA＝＝0.725，∴A≈44°a2＋b2－c22ab∵cosC＝＝0.8071，∴C≈36°∴B＝180°－(A＋C)≈100°.∵sinC＝≈0.5954,∴C≈36°或144°(舍).csinAa()例3、已知△ABC中，a=8,b=7,B＝600,求c及S△ABCBacacbcos2222解：022260cos8287cc整理得：c2-8c+15=0解得：c1=3,c2=531021362121BacSBacSABCABCsinsin或已知条件定理选用一般解法一边和二角(如a,B,C)两边和夹角(如a,b,C)两边和其中一边的对角(如a,b,A)三边(a,b,c)由A+B+C=180°求角A,由正弦定理求出b与c.解三角形的四种基本类型正弦定理余弦定理由余弦定理求出第三边c，再由正弦定理求出剩下的角.正弦定理由正弦定理求出角B,再求角C,最后求出c边.可有两解,一解或无解.余弦定理先由余弦定理求出其中两个角,再利用内角和为180°求出第三个角.练习CA201练习ABC中,（1）a＝4，b＝3，C＝60°，则c＝_____；14.6°（2）a=2,b=3,c=4,则C=______.104.5°（3）a＝2，b＝4，C＝135°，则A＝______.13练习1.余弦定理推论222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab2.余弦定理的作用（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角课堂小结CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222作业1.阅读教材第5页至第7页2.教材第10页A组第3,4题3.红对勾第二课时