用待定系数法求二次函数的解析式

2006年中考语文复习二次函数解析式有哪几种表达式？1）一般式：y=ax2+bx+c2）顶点式：y=a(x-h)2+k直线x=-11、若抛物线y=ax2+3x-4与抛物线y=-2x2形状相同，则a=.2、二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是.3、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点分别为A(1,0),B(-3,0)则它的对称轴是.4、二次函数y=x2-2x+2当x=时，y的最小值为.5、二次函数y=4x2+mx+1的图象顶点在x轴上，则m=；若它的顶点在y轴上，则m=.±2(0,1)11±406.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0,a-b+c＞0,则一定有()A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0A7.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M（b,)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D-1a0,b0,c0caD8.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则下列a、b、c间的关系判断正确的是()A.ab0B.bc0C.a+b+c0D.a-b+c09.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则不等式bx+a0的解为()A.xa/bB.x-a/bC.xa/bD.x-a/bDa0,b0,c0a0,b010.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的有()A.abc＞0B.b2-4ac＞0C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0DX=-b/2a1∴-b2a∴2a+b＞0当x=-2时,y=4a-2b+c＞0抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（3）b的符号：由对称轴的位置确定（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定（7）2a±b的符号：对称轴与直线x=1或x=-1的位置确定小结创境导入。已知一次函数图像上的两个点的坐标，可以用待定系数法求出它的解析式。问题：已知二次函数图像上的几个点的坐标，可以求出它的解析式？学习目标．(1)理解待定系数法的意义。(2)会用顶点式y=a(x-h)2+k求解析式.(3)会用三点式求函数解析式.（4）会转化成上述两种形式求解析式1设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。解：∵点(1,-2)是该抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(2,3)∴3=a(2－1)2-2解得:a=5∴抛物线的解析式为:y=5(x－1)2-2=5x2-10x+3y=a(x－1)2-21：2、形状与y=-2(x+3)2的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（1，0）的抛物线解析式。y=2(x-1)2=2x2-4x+2解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5已知一个二次函数的图象过点（－1,10）（1,4）（2,7）三点，求这个函数的解析式？2：如何解方程组已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式。解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上∴当y=2时，x=1。故顶点坐标为（1，2）所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又∵图象经过点（3，-6）∴-6=a(3-1)2+2得a=-2故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2即：y=-2x2+4x3精讲点拨求二次函数解析式的一般方法：1、已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。2、已知图象的顶点坐标（或对称轴和最值）,通常选择顶点式。yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。3、转化为上述两种形式。有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，解：根据题意可知抛物线经过(0，0)(20，16)和(40，0)三点可得方程组通过利用给定的条件列出a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定函数的解析式．过程较繁杂。评价1{C=0400a+20b+c=161600a+40b+c=0解得a=-—b=—c=012558尝试练习有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．∴设抛物线为y=a(x-20)2＋16解：根据题意可知∵点(0，0)在抛物线上，通过利用条件中的顶点和过原点选用顶点式求解，方法比较灵活。评价∴所求抛物线解析式为∴０=400a+16,a=-—125∵抛物线的顶点坐标为（20,16）解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：1：已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：a=-1故所求的抛物线为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1思考：1用一般式怎么解？2用顶点式怎么求解？4有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．设抛物线为y=ax(x-40）解：根据题意可知∵点(20，16)在抛物线上选用两交点式求解，方法灵活巧妙，过程也较简捷评价∴16=20a(20–40),a=-—125已知抛物线过A（1，0），B（0，3），且对称轴为x＝2，求函数解析式．∴所求函数的解析式为y＝x2-4x+3．解法一：设所求的解析式为y＝ax2＋bx＋c，∵图像经过点（1，0），（0，3），代入解析式得c=3,a＋b＝-3．又对称轴为x＝2，22ba322abba解方程组得：14ab尝试练习2.)20(3)21(022kaka已知抛物线过A（1，0），B（0，3），且对称轴为x＝2，求函数解析式．解法二：∵对称轴为x＝2∴设所求的函数解析式为y＝a（x－2）2＋k，则代入A，B点坐标后得解得a＝1，k＝-1．∴所求函数的解析式为y＝（x－2）2-1，即y＝x2-4x+3．1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)___),0,(),0,(321可设解析式为轴的交点、已知抛物线与xxx21xxxxay根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。一个二次函数，当自变量x=-3时，函数值y=2当自变量x=-1时，函数值y=-1，当自变量x=1时，函数值y=3，求这个二次函数的解析式？已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标是与Y轴交点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式？4、5、23,216、请写出如图所示的抛物线的解析式：（0，1）（2，4）xyO你学到那些二次函数解析式的求法求二次函数解析式的一般方法：1、已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式。2、已知图象的顶点坐标＊对称轴和最值,通常选择顶点式。3、已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择交点式yxo确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。7、按下列要求求出二次函数的解析式：（1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2）（-1，0）求该抛物线线的解析式。解：由题意得：点(-1,0)是该抛物线的顶点.因此可设这段抛物线对应的函数是∵这段抛物线经过点(-3,2)∴2=a(-3+1)2因此抛物线的解析式为:y=a(x+1)21a2解得：21(1)2yx已知二次函数的图像经过点A(3,-2)和B(1,0)且对称轴是直线x＝3.求这个二次函数的解析式。（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上，且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求此函数解析式。抛物线y=2x2-4x-1是由抛物线y=2x2-bx+c向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b=，c=。87解:求得抛物线y=2x2-4x-1顶点(1,-3)设原抛物线顶点为(m，n)则m-1=1，n-2=-3，m=2，n=-1∴原抛物线解析式为y=2(x-2)2-1即y=2x2-8x+7若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,则b=，c=,-815解:求得抛物线y=x2-2x+2顶点(1,1)设原抛物线顶点为(m，n)则m-3=1，n+2=1，m=4，n=-1∴原抛物线解析式为y=(x-4)2-1即y=x2-8x+15根据下列条件选择合适的方法求二次函数解析式：1、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-2，3）三点。2、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。3、抛物线经过点（4，-3），且x=3时y的最大值是4。练习：四、数形结合一、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)两点,它与二次函数y=ax2的图像在第一象限内相交于P点,若△AOP的面积为6.(1)求二次函数的解析式.ABPOxy解;由已知,A(4,0),B(0,4)得直线AB的解析式为y=-x+4,作PE⊥OA于E,则0.5OA×PE=6,可得PE=3当y=3时,3=-x+4,∴X=1,∴P(1,3)∵P在抛物线上,∴把x=1,y=3代入y=ax2,得a=3,∴y=3x2EABPOxy（2）如果D为抛物线上一点，使△AOD面积是△AOP的面积的4倍,求D点坐标。例2、已知二次函数的图象的顶点坐标为Ｃ（１，０），直线y=x+m与该二次函数的图象交于Ａ、Ｂ两点，其中Ａ（３，４），Ｂ在y轴上，（１）求m的值及这个二次函数的关系式．（２）Ｐ为线段ＡＢ上的一个动点，（与Ａ,Ｂ不重合）过Ｐ作Ｘ轴的垂线与这个二次函数图象相交于Ｅ点，设线段ＰＥ的长为h，点Ｐ的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式和x的取值范围．（3）Ｄ为直线ＡＢ与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使得四边形ＤＣＥＰ是平行四边形？若存在，求出Ｐ点坐标，不存在说明理由．解:1)∵Ａ（３，４）在直线上，∴４＝３＋m，∴m=1∴y=x＋1.∵顶点（１，０），设二次函数为y=a(x-1)2,∵Ａ（３，４）在抛物线上，∴４＝a(3-1)2∴a=1∴y=(x-1)2（２）∵P点的横坐标为Ｘ，P在直线y=x+1上,则P的纵坐标为（Ｘ＋１），PE⊥X轴,∴E的横坐标为x,Ｅ在抛物线上，∴Ｅ的纵坐标为（Ｘ－１）２,∵h=PE,∴ｈ＝ｘ＋１－（Ｘ－１）２即ｈ＝－ｘ２＋３ｘ（０＜Ｘ＜３）（3）Ｄ为直线ＡＢ与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段ＡＢ上是否存在一点Ｐ，使得四边形ＤＣＥＰ是平行四边形？若存在，求出Ｐ点坐标，不存在说明理由．解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3由条件得：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？yox点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为；y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－52