高一函数的对称性

函数的对称性有些函数其图像有着优美的对称性，同时又有着优美的对称关系式1-3-1-2165432-xx(1)(1)FF(2)(2)FF()()FxFx780x（偶函数）Y=F(x)图像关于直线x=0对称知识回顾从”形”的角度看，从”数”的角度看，F(-x)=F(x)XY1-3-1-2165432782x()fxf(x)=f(4-x)f(1)=f(0)=f(-2)=f(310)=f(6)f(4-310)0x4-xY=f(x)图像关于直线x=2对称f(3)f(4)从”形”的角度看，从”数”的角度看，xy1f(1+x)=f(3-x)f(2+x)=f(2-x)f(x)=f(4-x)对于任意的x你还能得到怎样的等式？从”形”的角度看，从”数”的角度看，Y=f(x)图像关于直线x=2对称1-3-1-26543272x()fx0x4-xYx-2-x1-3-1-216543278x=-1f(x)=f(-2-x)x思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称Yx-1+x-1-x1-3-1-216543278x=-1f(-1+x)=f(-1-x)思考?若y=f(x)图像关于直线x=-1对称f(x)=f(-2-x)Yx1猜测：若y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)xaf(a-x)=f(a+x)xa在y=f(x)图像上任取一点P点P关于直线x=a的对称点P’则有P’的坐标应满足y=f(x)也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)即：f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）()求证已知y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)xa在y=f(x)图像上任取一点P若点P关于直线x=a的对称点P’也在f(x)图像上P(x0,f(x0))P’P’(2a-x0,f(x0))f(x0)=f(2a-x0)f(x)=f(2a-x)x02a-x0y=f(x)图像关于直线x=a对称（代数证明）()已知求证y=f(x)图像关于直线x=a对称则y=f(x)图像关于直线x=a对称?f(x)=f(2a-x)P’在f(x)的图像上y=f(x)图像关于直线x=a对称f(x)=f(2a-x)f(a-x)=f(a+x)y=f(x)图像关于直线x=0对称f(x)=f(-x)特例：a=0轴对称性思考？若y=f(x)满足f(a-x)=f(b+x),则函数图像关于对称a+b2x=直线xa-xxxyoF(-x)+F(x)=0y=F(x)图像关于(0,0)中心对称中心对称性类比探究a从”形”的角度看，从”数”的角度看，F(x)+F(2a-x)=0xyoay=F(x)图像关于(a,0)中心对称从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究x2a-xF(x)+F(2a-x)=0F(a-x)+F(a+x)=0xyoa从”形”的角度看，从”数”的角度看，中心对称性类比探究a+xa-xy=F(x)图像关于(a,0)中心对称baF(a+x)+F(a-x)=2bF(x)+F(2a-x)=2bb中心对称性y=F(x)图像关于(a,b)中心对称类比探究xyo思考？(1)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=0,(2)若y=f(x)满足f(a-x)+f(b+x)=2c,则函数图像关于对称a+b2(,0)点则函数图像关于对称a+b2(,C)点知识内容：函数图像的对称性对称关系式y=F(x)图像关于x=a轴对称F(x)=F(2a-x)F(a-x)=F(a+x)y=F(x)图像关于点(a,b)中心对称F(x)+F(2a-x)=2bF(a-x)+F(a+x)=2b-xx函数图像关于直线x=0对称F(-x)=F(x)函数图像关于直线x=a对称F(a-x)=F(a+x)x=aF(x)=F(2a-x)函数图像关于(0,0)中心对称函数图像关于(a,0)中心对称F(-x)=-F(x)F(a-x)+F(a+x)=0F(x)+F(2a-x)=0轴对称中心对称性a数学思想方法:1.数形结合2.由特殊到一般3.类比思想知识迁移：已知对任意x，有f(x+2)=f(-x),当x[2,3]，y=x求当x[-1,0]时，f(x)的解析式？函数的图象一、作函数图象的基本方法有两种：A.描点法：1、先确定函数定义域，讨论函数的性质（奇偶性，单调性，周期性）2、列表（注意特殊点，如：零点，最大最小，与轴的交点）3、描点，连线如：作出函数的图象．xxy1B.图象变换法：利用基本初等函数变换作图(以熟悉基本初等函数的图象为前提).1、平移变换：（左正右负，上正下负）即kxfyxfyhxfyxfykkhh)()()()(,0;,0,0;,0上移下移左移右移2、对称变换：(口诀:对称谁，谁不变，对称原点都要变）)()()()()()()()()()()()(1xfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxfyxxyxyyx轴下方图上翻轴上方图，将保留边部分的对称图轴右边不变，左边为右原点轴轴3.伸缩变换：)()()()(1xAfyxfyxfyxfyA倍来的仍一点的纵坐标变为原倍来的仍一点的横坐标变为原三.图象对称性的证明：注意区别一个图象，还是两个图象（1）、证明函数图象的对称性：图象上任一点关于对称轴（对称点）的对称点仍在图象上（2）、证明两个图象C1C2的对称性：证C1上任意点关于对称轴（对称点）的对称点在C2图象上，反之也对二。有关结论：1、若f(a+x)=f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=a对称2、若f(a+x)=f(b-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于x=(a+b)/2对称3、若f(a+x)=-f(a-x)，x∈R恒成立，则y=f(x)关于点（a，0）对称