2015年4月北京市西城区一模考试高三理科数学试题

第1页共15页北京市西城区2015年高三一模试题数学（理科）2015.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合0,1{}A，集合{|}Bxxa，若AB，则实数a的取值范围是（）（A）1a≤（B）1a≥（C）0a≥（D）0a≤3.在极坐标系中，曲线2cosρ=θ是（）（A）过极点的直线（B）半径为2的圆（C）关于极点对称的图形（D）关于极轴对称的图形4．执行如图所示的程序框图，若输入的x的值为3，则输出的n的值为（）（A）4（B）5（C）6（D）72．复数z满足i3iz，则在复平面内，复数z对应的点位于（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限x=3x开始1nn=n+1100x输出n结束否是输入x第2页共15页Oxy5A8.已知抛物线214yx=和21516yx=-+所围成的封闭恰有曲线如图所示，给定点(0,)Aa，若在此封闭曲线上三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是（）5．若函数()fx的定义域为R，则“xR，(1)()fxfx”是“函数()fx为增函数”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）（A）476（B）233（C）152（D）77.已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（）（A）2枝玫瑰的价格高（B）3枝康乃馨的价格高（C）价格相同（D）不确定（A）(1,3)（B）(2,4)（C）3(,3)2（D）5(,4)2侧(左)视图正(主)视图俯视图2111221111第3页共15页第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知平面向量,ab满足(1,1)a，()()abab，那么|b|=____.10．已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的一个焦点是抛物线28yx的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为____.11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若π3A，27cos7B，2b，则a____.12．若数列{}na满足12a，且对于任意的*,mnN，都有mnmnaaa，则3a___；数列{}na前10项的和10S____．13.某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B与C必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有____种.（用数字作答）14.如图，四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为()Fx，则函数()Fx的单调增区间是____；最大值为____.BADC第4页共15页三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）设函数π()4cossin()33fxxx，xR.（Ⅰ）当π[0,]2x时，求函数()fx的值域；（Ⅱ）已知函数()yfx的图象与直线1y有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16．（本小题满分13分）2014年12月28日开始，北京市公共电汽车和地铁按照里程分段计价.具体如下表.（不考虑公交卡折扣情况）已知在北京地铁四号线上，任意一站到陶然亭站的票价不超过5元，现从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图所示．（Ⅰ）如果从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率；（Ⅱ）从那些只乘坐四号线地铁，且在陶然亭站出站的乘客中随机选2人，记X为这2人乘坐地铁的票价和，根据统计图，并以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）小李乘坐地铁从A地到陶然亭的票价是5元，返程时，小李乘坐某路公共电汽车所花交通费也是5元，假设小李往返过程中乘坐地铁和公共电汽车的路程均为s公里，试写出s的取值范围．(只需写出结论)乘公共电汽车方案10公里（含）内2元；10公里以上部分，每增加1元可乘坐5公里（含）.乘坐地铁方案（不含机场线）6公里（含）内3元；6公里至12公里（含）4元；12公里至22公里（含）5元；22公里至32公里（含）6元；32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.O票价(元)345104050人数302060第5页共15页17．（本小题满分14分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，//EFAD，平面ADEF平面ABCD，且2BCEF,AEAF，点G是EF的中点.（Ⅰ）证明：AG平面ABCD；（Ⅱ）若直线BF与平面ACE所成角的正弦值为69，求AG的长；（Ⅲ）判断线段AC上是否存在一点M，使MG//平面ABF？若存在，求出AMMC的值；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）设*nN，函数ln()nxfxx，函数e()xngxx，(0,)x.（Ⅰ）当1n时，写出函数()1yfx零点个数，并说明理由；（Ⅱ）若曲线()yfx与曲线()ygx分别位于直线1ly：的两侧，求n的所有可能取值.19．（本小题满分14分）设1F，2F分别为椭圆)0(1:2222babyaxE的左、右焦点，点在椭圆E上，且点P和1F关于点对称.（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）过右焦点2F的直线与椭圆相交于，两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由.)23,1(P)43,0(ClABFCADBGE第6页共15页20．（本小题满分13分）已知点列111222:(,),(,),,(,)kkkTPxyPxyPxy(*kN，2k≥)满足1(1,1)P，且111,iiiixxyy与11,1iiiixxyy(2,3,,ik)中有且仅有一个成立．（Ⅰ）写出满足4k且4(3,2)P的所有点列；（Ⅱ）证明：对于任意给定的k（*kN，2k≥），不存在点列T，使得112kkkiiiixy；（Ⅲ）当21kn且21(,)nPnn（*,2nnN≥）时，求11kkiiiixy的最大值．第7页共15页北京市西城区2015年高三一模试卷参考答案及评分标准高三数学（理科）2015.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．C3．D4．B5．B6．A7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．210．2213yx11．712．868213．2414．6(0,]2(或写成6(0,)2)18注：第12，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为3)cos23sin21(cos4)(xxxxf………………1分3cos32cossin22xxxxx2cos32sin………………3分=π2sin(2)3x，………………5分因为π02x≤≤，所以ππ2π2333x≤≤，………………6分所以sin(3π2)123x≤≤，即3()2fx≤≤，其中当5π12x时，)(xf取到最大值2；当0x时，)(xf取到最小值3，所以函数()fx的值域为]2,3[.………………9分第8页共15页（Ⅱ）依题意，得π2sin(2)13x，π1sin(2)32x，………………10分所以ππ22π36xk或π5π22π36xk，………………12分所以ππ4xk或7ππ12xk()kZ，所以函数()yfx的图象与直线1y的两个相邻交点间的最短距离为π3.……13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”，………………1分由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20（人）.所以票价小于5元的有6040100（人）．………………2分故120人中票价小于5元的频率是10051206．所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率5()=6PA．………………4分（Ⅱ）解：X的所有可能取值为6，7，8，9，10.………………5分根据统计图，可知120人中地铁票价为3元、4元、5元的频率分别为60120，40120，20120，即12，13，16，………………6分以频率作为概率，知乘客地铁票价为3元、4元、5元的概率分别为12，13，16．所以111(6)224PX，11111(7)23323PX，1111115(8)26623318PX，11111(9)36639PX，111(10)6636PX，………………8分第9页共15页FCADBGEzxy所以随机变量X的分布列为：X678910P141351819136………………9分所以1151122()67891043189363EX.………………10分（Ⅲ）解：(20,22]s．………………13分17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AEAF，点G是EF的中点，所以AGEF.……………1分又因为//EFAD，所以AGAD.……………2分因为平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD，AG平面ADEF，所以AG平面ABCD.……………4分（Ⅱ）解：因为AG平面ABCD，ABAD，所以,,AGADAB两两垂直.以A为原点，以AB，AD，AG分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，……5分则(0,0,0)A，(4,0,0)B，(4,4,0)C，设(0)AGtt，则(0,1,)Et，(0,1,)Ft，所以(4,1,)BFt，(4,4,0)AC，(0,1,)AEt.设平面ACE的法向量为(,,)nxyz，由0ACn，0AEn，得440,0,xyytz令1z,得(,,1)ntt.……………7分因为BF与平面ACE所成角的正弦值为69，第10页共15页所以6cos,9||||BFnBFnBFn，……………8分即222691721ttt，解得21t或2172t.所以1AG或342.……………9分（Ⅲ）解：假设线段AC上存在一点M，使得MG//平面ABF，设AMAC=，则AMAC，由(4,4,0)AC，得(4,4,0)AM，……………10分设(0)AGtt，则(0,0,)AGt，所以(4,4,)MGAGAMt.……………11分设平面ABF的法向量为111(,,)xyzm，因为(0,1,)AFt，(4,0,0)AB，由0AFm，0ABm，得1110,40,ytzx令11z,得(0,,1)tm，……………12分因为MG//平面ABF，所以0MGm，即04tt，解得14.所以14AMAC=，此时13AMMC=，所以当13AMMC=时，MG//平面ABF.……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：结论：函数()1yfx不存在零点.……………1分第11页共15页当1n时，ln()xfxx，求导得21ln()xfxx，……………2分令()0fx，解得ex.……………3分当x变化时，()fx与()fx的变化如下表所示：x(0,e)e(e,)()fx0()fx↗↘所以函数()fx在(0,e)上单调递增，在(e,)上单调递减，则当ex时，函数()fx有最