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2.2等差数列（一）课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，深化认识并能运用．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做________数列，这个常数叫做等差数列的________，公差通常用字母d表示．答案：等差公差2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的________，并且A＝________.自学导引答案：等差中项a＋b2课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝________.答案：a1＋(n－1)d课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升自主探究1．已知数列an中，an＝pn＋q其中p，q是常数，且p不为0，那么数列an是否为等差数列，如果是，公差和首项是多少？答案：根据等差数列的定义式an＋1－an＝p(n＋1)＋q－(pn＋q)＝p，a1＝p＋q，故数列an首项是a1＝p＋q，公差是d＝p的等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言的关系？答案：若数列an已知首项a1且满足an－an－1＝d(n∈N*，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，则数列an为等差数列．可见，等差数列的意义用符号语言表示，即a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数列的递推公式．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公式是()A．an＝a＋(n－1)dB．an＝a＋(n－3)dC．an＝a＋2(n－2)dD．an＝a＋2nd解析：an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－2)d.答案：C预习测评课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升2．△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则角B等于()A．30°B．60°C．90°D．120°答案：B3．等差数列1,3,5,7…的通项公式是________．解析：因为a1＝1，公差d＝3－1＝2，所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1.答案：an＝2n－14．3与15的等差中项是________．解析：3与15的等差中项是＝9.答案：9课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升1．等差数列的定义(1)一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．要点阐释课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升(2)等差数列的定义还可以用数学符号语言表述为：在数列an中，如果an＋1－an＝d(常数)对任意n∈N*都成立，则称数列an为等差数列，常数d称为等差数列的公差．特别提示：(1)注意定义中“同一常数”这一要求，这一要求可理解为：每一项与前一项的差是常数且是同一常数，否则这个数列不能称为等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升(2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这一要求可理解为：首先是因为首项没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升2．等差数列的通项公式公式an＝a1＋(n－1)d也可以用以下方法(累加法)导出：a2－a1＝da3－a2＝da4－a3＝d…an－an－1＝dn－1个课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－1)d.“累加法”是推导给出形如an＋1－an＝f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一种重要方法．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升3．等差中项及等差数列的判定判断一个数列为等差数列的常见方法有：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔an为等差数列．(2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔an为等差数列．(3)通项法：an为n的一次函数⇔an为等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项．显然，如果A是x和y的等差中项，那么A＝x＋y2.特别提示：(1)在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以要引起重视．(2)A＝x＋y2是x，A，y成等差数列的充要条件，因此两个数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以用它来判断或证明三个数成等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升题型一等差数列的通项公式典例剖析【例1】已知等差数列an，若a49＝80，a59＝100，求a79的值．证明：设公差为d，则a49＝a1＋48d＝80，a59＝a1＋58d＝100，解得：a1＝－16d＝2.∴a79＝a1＋(79－1)d＝140.课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升方法点评：关于a1，an，n，d之间的运算称为基本量的运算，这是等差数列中最简单、最重要、必须熟练掌握的知识．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升1．已知数列－5，－3，－1,1，…是等差数列，判断52,2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某项？若是，是第几项？解：根据所给数列，可得等差数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.而2n＋7＝2(n＋7)－7(n∈N*)，所以2n＋7是该数列的项，是第n＋7项．若52＝2n－7，解得n＝592∉N*，所以52不是该数列的项．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升题型二等差数列的判断【例2】已知a，b，c成等差数列，那么a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差数列？证明：∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b，a2(b＋c)＋c2(a＋b)－2b2(c＋a)＝a2c＋c2a＋ab(a－2b)＋bc(c－2b)＝a2c＋c2a－2abc＝ac(a＋c－2b)＝0，∴a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝2b2(c＋a)，∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升方法点评：如果a，b，c成等差数列，常转化成a＋c＝2b的形式去运用；反之，如果求证a，b，c成等差数列，常改证a＋c＝2b.有时应用概念解题，需要运用一些等值变形技巧，才能获得成功．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升2．已知an为等差数列，bn＝a3n＋1，求证：数列bn为等差数列．证明：设等差数列an的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，∴bn＝a3n＋1＝a1＋3nd，∴bn＋1－bn＝a3(n＋1)＋1－a3n＋1＝[a1＋3(n＋1)d]－(a1＋3nd)＝3d.(常数)由等差数列的定义得数列bn是等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升误区解密对等差数列的定义理解不透彻【例3】若数列an的通项公式为an＝10＋lg2n，试说明数列an为等差数列．错解：因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以a1＝10＋lg2，a2＝10＋2lg2，a3＝10＋3lg2，…，所以a2－a1＝lg2，a3－a2＝lg2，…，故数列an为等差数列．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升错因分析：以特殊代替一般，用验证几个特例作为证明是不正确的，必须用定义或与定义等价的命题来证明．正解：因为an＝10＋lg2n＝10＋nlg2，所以an＋1－an＝[10＋(n＋1)lg2]－(10＋nlg2)＝lg2(常数)．所以数列an为等差数列．纠错心得：要说明一个数列为等差数列，必须说明从第二项起所有的项与其前一项之差为同一常数，即an－an－1＝d(n≥2)恒成立，而不能只验证有限个相邻两项之差相等．课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升①公差是从第二项起，每一项减去它前一项的差，即d＝an－an－1(n≥2)，或d＝an＋1－an(n∈N*)；②要证明一个数列是等差数列，必须对任意n∈N*，an＋1－an＝d，或an－an－1＝d(n≥2)都成立；课堂总结1．在等差数列an中课前自主学习课堂讲练互动课后智能提升③an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，表明d≠0时，an是关于n的一次函数．2．如果已知等差数列的某两项，常把这两项都用首项和公差表示，这样可以求出首项和公差和通项公式．