2.2.1双曲线及其标准方程

2.2.1双曲线及其标准方程高二数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程花瓶北京摩天大楼法拉利主题公园巴西利亚大教堂教学目标：•理解记住双曲线的定义，几何图形.•记住双曲线的标准方程，会分析标准方程的推导过程.•会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题.问题1：椭圆的定义是什么？平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。问题2：椭圆的标准方程是怎样的?)0(1)0(122222222babxaybabyax或，，关系如何？abc222cba问题3：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？①如图(A)，|MF1|-|MF2|=2a②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a上面两条合起来叫做双曲线由①②可得：||MF1|-|MF2||=2a（差的绝对值）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|，且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。通常情况下，我们把|F1F2|记为2c（c0)；常数记为2a(a0).问题4:定义中为什么强调常数要小于|F1F2|且不等于0（即02a2c）？如果不对常数加以限制，动点的轨迹会是什么？问题3:定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？一、双曲线的定义①若2a=2c,则轨迹是什么？②若2a2c,则轨迹是什么？③若2a=0,则轨迹是什么？此时轨迹为以F1或F2为端点的两条射线此时轨迹不存在此时轨迹为线段F1F2的垂直平分线F1F2F1F2分3种情况来看：二、双曲线标准方程的推导①建系1F2F使轴经过两焦点，轴为线段的垂直平分线。x21,FF21,FFyxyO②设点设是双曲线上任一点，),(yxMM焦距为，那么焦点又设|MF1|与|MF2|的差的绝对值等于常数。)0(2cc)0,(),0,(21cFcFa2③列式aMFMF221即aycxycx2)()(2222aycxycx22222将上述方程化为：aycxycx22222移项两边平方后整理得：222ycxaacx两边再平方后整理得：22222222acayaxac由双曲线定义知：ac22即：ac022ac设0222bbac代入上式整理得：122222acyax两边同时除以得：222aca)0,0(12222babyax④化简这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)，F2(c，0).其中c2=a2+b2.类比椭圆的标准方程，请思考焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？1F2FxyO)0,0(12222babxay其中c2=a2+b2.这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在y轴上，焦点是F1(0，-c)，F2(0，c).)0,0(12222babxay)0,0(12222babyax三.双曲线两种标准方程的比较①方程用“－”号连接。②分母是但大小不定。0,0,,22bababa,③。222bac④如果的系数是正的，则焦点在轴上；如果的系数是正的，则焦点在轴上。2xx2yyOMF2F1xyF2F1MxOy定义方程焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2四、双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出及焦点坐标。cba,,)0,0(1412431222124122222222nmnymxyxyxyx答案：)0,6).(0,6(6,2,21cba)0,2).(0,2(2,2,22cba)6,0).(6,0(6,2,23cba)0,).(0,(,,4nmnmnmcnbma题后反思：先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。变式训练解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为)0,0(12222babyax因此，双曲线的标准方程为.191622yx题后反思：求标准方程要做到先定型，后定量。两条射线轨迹不存在例1、已知双曲线的焦点F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到焦点的距离差的绝对值等于8，求双曲线的标准方程。1.若|PF1|-|PF2|=8呢？2.若||PF1|-|PF2||=10呢？3.若||PF1|-|PF2||=12呢？)0.(191622xyx所以2c=10，2a=8。即a=4，c=5那么b2=c2-a2=25-16=9根据已知条件，|F1F2|=10.||PF1|-|PF2||=8，求适合下列条件的双曲线的标准方程。①焦点在在轴上，；②焦点在在轴上，经过点.xx3,4ba)2,315(),3,2(答案:①191622yx)0,0(12222babyax②设双曲线的标准方程为代入点得)2,315(),3,2(12351322222baba令221,1bnam则1235132nmnm解得311nm故所求双曲线的标准方程为.1322yx使A、B两点在x轴上，并且点O与线段AB的中点重合解:由声速及在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,可知A地与爆炸点的距离比B地与爆炸点的距离远680m.因为|AB|680m,所以爆炸点的轨迹是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上.例2已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系xOy,设爆炸点P的坐标为(x,y)，则3402680PAPB即2a=680，a=340800AB8006800,0PAPBx1(0)11560044400xyx222800,400,ccxyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca222双曲线的定义双曲线的标准方程应用54页习题2.2A组1、2题。①当2a=||MF1|－|MF2||=0时，轨迹是线段F1F2的垂直平分线.(1)定义中强调在平面内,否则轨迹不是双曲线。几点说明：OF1F2M通常|F1F2|记为2c;距离的差的绝对值记为2a.||MF1|－|MF2||=|F1F2|时,M点一定在上图中的F2F1PQ②当2a=|F1F2|时（2）定义中为什么0〈2a〈|F1F2|？射线F1P,F2Q上,此时点的轨迹为两条射线F1P,F2Q。（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2）是否表示双曲线？)0(122mnnymx表示焦点在轴上的双曲线；x00nm表示焦点在轴上的双曲线。y00nm表示双曲线，求的范围。m11222mymx答案：。21mm或