第五讲 事件的独立性

例1已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.事件的独立性设第i次求取得白球为事件Ai(i=1,2)..)(12AAP,)(2AP解,8/3)(12AAP,83)(2AP)()(122AAPAP§1.6事件的独立性事件A1发生与否对A2发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立)()()(12121AAPAPAAP定义设A,B为E的两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A与事件B相互独立。)()(21APAP1、两事件A与B相互独立是相互对称的。2、若)()(,0)(ABPBPBAAP独立与则事件若)()(,0)(BAPAPBABP独立与则事件两事件相互独立的性质3、四对事件BABABABA,;,;,;,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立。试证其一独立独立BABA,,事实上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP则称A,B,C相互独立。注:仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1))()()()(CPBPAPABCP(2)A,B,C相互独立A,B,C两两独立定义若有例2有一均匀的八面体,各面涂有颜色如下将八面体向上抛掷一次,观察向下一面出现的颜色。设事件R红色W白色Y黄色12345678RRRR)()()(YPWPRP则81)()(,83)(RYPWYPRWP81)(RWYP)()()(WPRPRWP)()()(YPWPRP但)()()()()()(YPRPRYPYPWPWYP本例说明不能由关系式(2)推出关系式(1)n个事件A1,A2,…,An相互独立是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义常由实际问题的意义判断事件的独立性例4已知事件A,B,C相互独立,证明事件A与CB也相互独立证)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP例4若A1,A2,…,An相互独立,则)()(211nniiAAAPAPniiAP1))(1(1)(121nAAAPniiAP1)(1)(121nAAAP)(21niiAPniiAP1))(1(1)(121nAAAPnAPAPAP21pAPi)(当，则nniipAP)1(1)(1特别，例5设每个人的血清中含肝炎病毒的概率为0.4%,求来自不同地区的100个人的血清混合液中含有肝炎病毒的概率解设这100个人的血清混合液中含有肝炎病毒为事件A,第i个人的血清中含有肝炎病毒为事件Aii=1,2,…,100则1001iiAA)(11)(1001iiAPAP33.0)004.01(1100例5若Bn表示n个人的血清混合液中含有肝炎病毒，则,2,110,)1(1)(nBPnn1)(limnnBP——不能忽视小概率事件,小概率事件迟早要发生一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性系统由元件组成,常见的元件连接方式：串联并联1221系统的可靠性问题例6例6设两系统都是由4个元件组成,每个元件正常工作的概率为p,每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.A1A2B2B1S1:21211)(BBAAPSP)2(22242pppp)()()(21212121BBAAPBBPAAPA1A2B2B1S2:21)(iiiBAP22)2(pp.)()2(122SPpp222pp0)2()2()(22pppf注利用导数可证,当时,恒有)1,0(p22112)(BABAPSPn重Bernoulli试验中事件A出现k次的概率记为)(kPnAA,10,)(ppAP且伯努利试验概型每次试验的结果与其他次试验无关——称为这n次试验是相互独立的试验可重复n次每次试验只有两个可能的结果：n重伯努利(Bernoulli)试验概型：伯努利试验例7袋中有3个白球,2个红球,有放回地取球4次,每次一只,求其中恰有2个白球的概率.解古典概型45n设B表示4个球中恰有2个白球222423CnB42224523)(CBP.3456.052532224C例7解二每取一个球看作是做了一次试验.5/3)(AP记取得白球为事件A，有放回地取4个球看作做了4重Bernoulli试验,记第i次取得白球为事件Ai感兴趣的问题为:4次试验中A发生2次的概率4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA4321AAAA.3456.05253)(2224CBP一般地，若10,)(ppAP则nkppCkPknkknn,,2,1,0,)1()(