2016.3.24数列讲座――高观点下数列和式放缩研究(探讨几类典型问题的通法)(萧山)

数列和式放缩研究高观点下杭州第十四中学李绍塔——探讨几类典型问题的通法考试说明说……3、了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系4、能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和（一）数列的概念与表示了解数列的概念和几种表示方法（列表、图象、解析法（通项公式、递推公式））（二）等差数列、等比数列1、理解等差数列、等比数列的概念2、掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式5、能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题“变比”数列和的不等式高等数学希望……中学数学核心内容：函数（数列也是函数）高等数学核心概念：极限（数列极限，函数极限）1、数列是高中数学的重要知识内容,同时作为高等数学研究极限的主要对象之一,是初等数学与高等数学的重要衔接点2、高考压轴（高考热点、难点）3、数学竞赛（代数变换能力）一、无穷级数视角（几何级数、P-级数的敛散性）（一）通项已知1、“指数”型.（形如11()()nfngn¥=-å借助主导项思想，放缩成等比数列）2、“幂”型.（基于111(23)2pnpn¥==åL，，放缩成可裂项相消数列）二、动力方程视角（不动点）（二）通项未知（“递推”型（二次递推、一次分式递推、根式递推））①“指数”型.（借助“变比”放缩成等比数列）②“裂项相消”型.（借助不动点先“中心化”，再“取倒裂项累加”处理）放缩结果：1、数值型1nkkaS=å（1nna¥=å往往是收敛的）2、变量型1nknkaT=å（1nna¥=å往往是发散的）数列和式放缩的两个高数视角思想来源——两类极限问题（通项、和）事实上,数列通项不等式问题可看作研究数列敛散性问题的一个子问题（有时甚至是等价问题），从而可以反过来从极限的视角来审视数列通项的放缩.1、数列通项的敛散性：（1）若limnnaa=，则称数列{}na收敛.（2）若limnna不存在，则称数列{}na发散.思想来源——两类极限问题（通项、和）事实上,数列和式不等式问题可看作研究无穷级数敛散性问题的一个子问题（有时甚至是等价问题），从而可以反过来从级数的视角审视数列和式的放缩.2、数列前n项和的敛散性：（1）若1limnknkaS==å，则称无穷级数1nna¥=å收敛.若1limnknka=å不存在，则称无穷级数1nna¥=å发散.（2）若级数1nna¥=å收敛，则称1nna¥=å绝对收敛.若级数1nna¥=å收敛且1nna¥=å发散，则称1nna¥=å条件收敛.方法来源1——比值判别法达朗贝尔（DAlembert¢）判别法若1nna¥=å为正项级数，（1）若*MN$?，nM?，有11nnaal+?（极限形式1lim1nnnaal+=），则1nna¥=å收敛;（2）若*MN$?，nM?，有11nnaal+?（极限形式1lim1nnnaal+=），则1nna¥=å发散.事实上,该判别法在某种意义上可看作几何级数敛散性判别的推广形式，从而天然的可以结合到数列的放缩中去.——“指数型”数列方法来源2——动力方程、不动点定理压缩映射原理若()fx在R上满足：,xyR?，有()()fxfyxyl-?（01l?）——压缩条件则称()fx为定义在R上的一个压缩映射，此时，()fx在R上存在唯一的不动点0x（即满足00()fxx=）.简单迭代序列的敛散性——命题的依据和源头若将非线性方程()0fx=转化为一个同解方程()xgx=，任取初始值1a，并且*1()()nnaganN+=?，则得到序列{}na.收敛定理：若()gx在[,]ab上满足压缩条件，则迭代序列{}na收敛.推论:若()gx在[,]ab上满足sup()1gxl¢=,则数列{}na收敛，且收敛的极限即为()gx在[,]ab上的不动点.简单迭代序列的敛散性分析若将非线性方程()0fx=转化为一个同解方程()xgx=，任取初始值1a，并且*1()()nnaganN+=?，则得到序列{}na.1、分析的角度：若00()xgx=，则10000()()()nnnnaxgagxaxaxgx+--=¢=--（教师角度）以及100()()nnnaxaxqa+-=-，即100()nnnaaxaxq+-=-（学生角度）.2、敛散性结论：已知00()gxx=，即0x为()gx的不动点，在不动点0x附近：①若0()1gx¢，则na为单调收敛迭代序列，即被不动点单调吸引；②若1()0gx¢-，则na为振荡收敛迭代序列，即被不动点上下振荡吸引；③若()1gx¢-，则na为振荡发散迭代序列，即被不动点上下振荡排斥；④若()1gx¢，则na为单调发散迭代序列，即被不动点单调排斥.例题1（2015浙江高考理科20）——动力方程视角借助不动点定理已知数列na满足112a且2*1nnnaaanN.（1）证明：*112nnanNa；（2）若数列2na的前n项和为nS，证明：*112221nSnNnnn.本题充分体现浙江高考试题特点，简约而不简单.主要考查数列的表示和性质，数列与不等式，数列与函数的关系等知识，考查综合分析问题、解决问题的能力.解析：Step1:找出迭代函数：令2()gxxx,则本题可表述为1*112()nnaaganN(*)Step2:求出迭代函数的不动点：由2()gxxxx，得0x；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的动力学性质：根据迭代函数或利用作差法，易得*102nanN，又因为11011()[,1)02nnnnnnaaaqaaa，所以即证(1):*112nnanNa.Step4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：因为(0)1q，所以递推数列为“裂项相消”型.2*1nnnaaanNStep5:若第4步判定的类型为“裂项相消型”，则对“中心化”式子取倒数、裂项、累加：由2100(0)(1)nnnnnaaaaa,得111110(0)101nnnnnaaaaa，故1111100nnnaaa，从而111111()100nnkkkkkaaa，又*102nanN，得到1121na，即得11111121nknknnaaa，即证111222nann,通过分析可知，(2)只要证明111222nann，从而原命题得证.例题2（2016浙江高考样卷20）——动力方程视角借助不动点定理已知数列na满足11a，*11()21nnanNa．（1）证明：数列12na为单调递减数列；（2）记nS为数列1nnaa的前n项和，证明：*5()3nSnN．解析：Step1:找出迭代函数：令1()21gxx，则本题可表述为1*11()nnaaganN（*）说明：（*）式即为一个简单迭代序列.Step2:求出迭代函数的不动点：由1()21gxxx，得不动点12x和1x；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的动力学性质：根据迭代函数或利用作差法，易得*01nNan，又因为11112()(1,](1,0)12132nnnnaqaaa，即得112112nnaa，从而数列12na为单调递减数列.*11()21nnanNaStep4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：因为11()22q，所以递推数列为“等比”型数列.Step5:若第4步判定的类型为“等比”型，则可以放缩成等比数列：由11()2120121nnnnqaaaa，可得111122nnnnaaaa，根据2111226naa（2n），则1233na，又因为11a，所以13na（*nN），从而11212nnaa13215na（*nN），由11212nnaa13215na（*nN），因此111121122nnnnkkkkkkkSaaaa12131311252553331155nnaa.从动力方程视角看递推数列放缩（例1、例2代表了两种不同类型）题干模型.已知数列na满足1aa，*1()()nnaganN.Step1:找出迭代函数：()gx；Step2:求出迭代函数的不动点：由()gxx，得0xx；Step3:“中心化”再作商得到“变比”()nqa，研究数列在不动点附近的动力学性质：求出100()nnnaxqaax，分析()nqa.Step4:计算“变比”()nqa在不动点处的函数值，判定数列类型：①若0()1qx，则数列为“裂项相消”型.②若0()1(1)qx，则数列为“等比”型，可放缩成等比数列；Step5:若第4步判定的类型为“裂项相消型”，则对“中心化”式子取倒数、裂项、累加：①“中心化”取倒数，得到100()1nnnqaaxax；②裂项成可累加相消结构：10011()nnnPaaxax，这里的{()}nPa即为“伴随”数列；③累加：得到1101011()nkknPaaxax.Step5:若第4步判定的类型为“等比型”，则放缩成等比数列：①分析“变比”()nqa：100()nnnaxqaax；②根据na的范围，再结合具体问题进行放缩.“五步法”求解递推型问题（学生能够理解并可操作）.递推数列命题初探（1）命题依据根据前面关于简单迭代序列的思想，现将非线性方程2320xx-+=转化为一个同解方程32()xxgxx-=@，取初始值13a=，并且*1()()nnaganN+=?，则得到序列{}na.（2）命题求解已知数列na满足13a=且*123()nnanNa+=-?.（1）判断数列na单调的单调性，并加以证明；（2）设数列na的前n项和为nS，证明：2122nnSn++（n*N）.命题解析：由*123()nnanNa，得3(2)gxxx，则本题可表述为1*13()nnaaganN.（1）由3(2)xxgxx，得不动点1x和2x，且易得2na；因为12111()[,)232nnnnaqaaa，所以2x为数列na单调收敛点，即为一个吸引子.第（1）小题由121012nnnaaa，即得na单调递减；（2）由前面12111()[,)232nnnnaqaaa，并且根据1(2)2q，由模型通法可知数列na是“等比型”数列，可以放缩成等比数列，即11111()21()32nnna，从而11311(1)222232nnnSn---?-，即得2122nnSn++（n*N）.（3）常见迭代序列（二次递推、一次分式递推、根式递推）实际上，根据前面关于简单迭代序列构造的过程，可将非线性方程2320xx-+=转化为一个同解方程，形式如下：①32()xxgxx-=@，取初始值13a=，且*1()()nnaganN+=?，得序列{}na.②222()xxxgx=-+@，取初始值13a=，且*1()()nnaganN+=?，得{}na.③32()xxgx=-@，取初始值13a=，且*1()()nnaganN+=?，得{}na.④264()xxxgx=--@，取初始值13a=，且*1()()nnaganN+=?，得{}na.练习1.已知数列满足：2*112,1nnnaaaanN．（1）证明：1221212nnna-++?；（2）证明：12122111111221nnnaaa---?++L．练习2