2016.4.21张心悦第六次三角函数的图象与性质 教师版

上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生1上善教育学科教师辅导讲义（学生版）组长签字：学员编号：ss0144年级：高一课时数：3课时学员姓名：张心悦辅导科目：数学学科教师：吕明龙授课日期及时段2016年4月21日19:00---21:00（第六次课）教学目标1、三角函数的定义域和值域；2、三角函数的单调性；3、三角函数的奇偶性，对称性、周期性。重点难点三角函数的图形及性质教学内容目录Contents上节课回顾:作业检查+知识点复习一、导入二、知识梳理+经典例题三、随堂检测四、归纳总结五、课后作业上节课回顾：一、作业检查情况完成未完成知识点回顾课堂流程上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z}值域[－1，1][－1，1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性[2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)为增；[2kπ＋π2，2kπ＋3π2](k∈Z)为减[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)为减；[2kπ－π，2kπ](k∈Z)为增kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)为增对称中心(kπ，0)(k∈Z)(kπ＋π2，0)(k∈Z)(kπ2，0)(k∈Z)对称轴x＝kπ＋π2(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)无[做一做]1．设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生3D．最小正周期为π2的偶函数答案：B2．函数y＝tan3x的定义域为____________．答案：xx≠π6＋kπ3，k∈Z~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~1．辨明三个易误点(1)y＝tanx不能认为其在定义域上为增函数，应在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数．(2)三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．(3)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解．2．求三角函数值域(最值)的两种方法(1)将所给函数化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，通过分析ωx＋φ的范围，结合图象写出函数的值域；(2)换元法：把sinx(cosx)看作一个整体，化为二次函数来解决．[做一做]3．若函数f(x)＝－cos2x，则f(x)的一个递增区间为()A.－π4，0B.0，π2C.π2，3π4D.3π4，π课堂导入上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生4解析：选B.由f(x)＝－cos2x知递增区间为kπ，kπ＋π2，k∈Z，故只有B项满足．4．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为()A．－1B．－22C.22D．0解析：选B.由已知x∈0，π2，得2x－π4∈－π4，3π4，所以sin2x－π4∈－22，1，故函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为－22.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~考点一__三角函数的定义域和值域____________(1)函数y＝sinx－cosx的定义域为________；(2)(2014·高考大纲全国卷)函数y＝cos2x＋2sinx的最大值为________．[解析](1)要使函数有意义，必须有sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx，同一坐标系中作出y＝sinx，y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为知识讲解上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生5x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z.(2)y＝cos2x＋2sinx＝－2sin2x＋2sinx＋1，设t＝sinx(－1≤t≤1)，则原函数可以化为y＝－2t2＋2t＋1＝－2t－122＋32，∴当t＝12时，函数取得最大值32.[答案](1)x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4，k∈Z(2)32本例(2)变为函数y＝cos2x＋4sinx(|x|≤π6)的最大值为________．解析：y＝cos2x＋4sinx＝－2sin2x＋4sinx＋1，设t＝sinx(－12≤t≤12)，则原函数可以化为y＝－2t2＋4t＋1＝－2(t－1)2＋3，∴当t＝12时，函数取得最大值52.答案：52[规律方法](1)三角函数定义域的求法：求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法：①利用sinx和cosx的值域直接求．②把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域(本讲典例2(3))．③把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域．④利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域．1.(1)函数y＝2＋log12x＋tanx的定义域为________；(2)函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域为________．解析：(1)要使函数有意义，上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生6则2＋log12x≥0x＞0tanx≥0x≠kπ＋π2，k∈Z⇒0＜x≤4，kπ≤x＜kπ＋π2（k∈Z）.利用数轴可得函数的定义域是x|0＜x＜π2或π≤x≤4.(2)设t＝sinx＋cosx，则sinxcosx＝t2－12(－2≤t≤2)．y＝t＋12t2－12＝12(t＋1)2－1，当t＝2时，y取最大值为2＋12，当t＝－1时，y取最小值为－1.∴函数值域为[－1，12＋2]．答案：(1)x|0＜x＜π2或π≤x≤4(2)[－1，12＋2]考点二__三角函数的单调性(高频考点)__________三角函数的单调性是每年高考命题的热点，题型既有选择题也有填空题，或解答题某一问出现，难度适中，多为中档题．高考对三角函数单调性的考查有以下四个命题角度：(1)求已知三角函数的单调区间；(2)已知三角函数的单调区间求参数；(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)；(4)利用三角函数的单调性比较大小．上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生7(1)函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间是()A.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)D.kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)(2)已知ω0，函数f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则ω的取值范围是()A.12，54B.12，34C.0，12D．(0，2)(3)(2015·江西南昌模拟)已知函数f(x)＝(sinx＋cosx)2＋2cos2x－2.①求f(x)的单调增区间；②当x∈π4，3π4时，求函数f(x)的最大值，最小值．[解析](1)由kπ－π22x－π3kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2－π12xkπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan2x－π3的单调递增区间为kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)，故选B.(2)由π2xπ，ω0，得ωπ2＋π4ωx＋π4ωπ＋π4，又y＝sinx在π2，3π2上递减，所以ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生8[答案](1)B(2)A(3)解：①f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4，令2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，则kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.故f(x)的单调增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.②∵x∈π4，3π4，∴3π4≤2x＋π4≤7π4，∴－1≤sin2x＋π4≤22，∴－2≤f(x)≤1，∴当x∈π4，3π4时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－2.[规律方法]三角函数单调性问题解题策略(1)已知三角函数解析式求单调区间．①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(3)利用三角函数的单调性求值域(或最值)．形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b或可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b的三角函数的值域(或最值)问题常利用三角函数的单调性解决．2.(1)已知函数f(x)＝2sinx＋π3，设a＝fπ7，b＝fπ6，c＝fπ3，则a，b，c的大小关系是()A．acbB．cabC．bacD．bca(2)(2015·山东聊城期末测试)已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于()上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生9A.23B.32C．2D．3(3)函数y＝cosπ4－2x的单调减区间为________．(4)函数y＝|tanx|的单调增区间为________．解析：(1)a＝fπ7＝2sin1021π，b＝fπ6＝2sinπ2＝2，c＝fπ3＝2sin2π3＝2sinπ3，因y＝sinx在0，π2上递增，则cab.(2)∵ω＞0，－π3≤x≤π4，∴－ωπ3≤ωx≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.(3)由y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，得2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，故kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．(4)如图，观察图象可知，y＝|tanx|的增区间是kπ，kπ＋π2，k∈Z.答案：(1)B(2)B(3)kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)(4)kπ，kπ＋π2，k∈Z考点三__三角函数的奇偶性、周期性及对称性__(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cosx|，③y＝上善教育中国教育培训领军品牌选择上善人人都可以是优等生10cos2x＋π6，④y＝tan2x－π4中，最小正周期为π的所有函数为()A．②④B．①③④C．①②③D．①③(2)(2015·揭阳模拟)当x＝π4时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f3π4－x()A．是奇函数且图象关于点π2，0对称B．是偶函数且图象关于点()π，0对称C．是奇函数且图象关于直线x＝π2对称D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称[解析](1)①y＝cos|2x|＝cos2x，T＝π.②由图象知，函数的周期T＝π.③T＝π.④T＝π