高考数学应用题的解法

-34-高考数学应用题的解法2007年全国数学考试大纲（课标版）中，能力要求中指出，能力是指思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识，其中对实践能力的界定是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明.实践能力是将客观事物数学化的能力.主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决.2007年山东数学考试说明对实践能力的界定是：能够综合运用所学知识对问题所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题，并能用数学语言正确地表述、说明．对实践能力的考查主要采用解决应用问题的形式.命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际，考虑学生的年龄特点和实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平.数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一,高考中一般命制一道解答题和两道选择填空题.由于这类题目文字叙述长，数学背景陌生，涉及面又广，对相当一部分学生来讲，连题目都不“敢”去看了，心理失衡，导致在阅读和理解方面存在着一定困难.解答这类问题的要害是消除心理和语言障碍，深刻理解题意,做好文字语言向数学的符号语言的翻译转化,自信，冷静地去读完题目，保持冷静，认真对待，不能随意放弃.读题是翻译的基础，读题时要抓住题目中的关键字、词、句，弄清题中的已知事项，初步了解题目中讲的是什么事情，要求的结果是什么。在读题的基础上，要能复述题目中的要点，深思题意，很多情况下，可将应用题翻译成图表形式，形象鲜明地表现出题中各数量之间的关系，将文字语言、符号语言、图表语言转化成数学语言，这个过程其实就是建模。函数,数列,不等式，排列组合、概率是较为常见的模型,而三角,立几,解几等模型也时有出现.一般来说，可采用下列策略建立数学模型：（1）双向推理列式，利用已知条件顺向推理，运用所求结果进行逆向搜索；（2）借助常用模型直接列式，平均增长率的问题可建立指、对数或方程模型，行程、工程、浓度问题可以建立方程（组）或不等式模型，拱桥、炮弹发射、卫星制造问题可建立二次模型，测量问题可建立解三角形模型；计数问题可建立排列组合问题；机会大小问题可建立概率模型，优化问题可建立线性规划模型……中学数学各个章节中有关应用问题的内容分别是：1．函数：能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.2．不等式：掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.3．平面向量:在立体几何与解析几何中的应用.4．三角函数：理解函数y=Asin(ωx+ψ)中A、ω、ψ的物理意义；掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题.5．数列：能运用公式解决简单的问题.6．直线和圆的方程：了解线性规划的意义，并会简单的应用.7．圆锥曲线方程：了解圆锥曲线的初步应用.8．直线、平面、简单几何体：平面及其基本性质，平面图形直观图的画法.平行直线，对应边分别平行的角，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离.直线和-35-平面平行的判定与性质，直线和平面垂直的判定与性质，点到平面的距离，斜线在平面上的射影，直线和平面所成的角，三垂线定理及其逆定理.平行平面的判定与性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定与性质.多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球等各部分都有应用.9．排列、组合、二项式定理：⑴掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题；⑵理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的问题.⑶理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题.⑷掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.这部分主要解决⑴不同类问题(可重复排列问题，不可重复排列问题，组合问题)的辩析；⑵多类多步排列组合问题的解决方法，主要是两个特元以上的特元法或特位法、排除法的应用．10．概率：⑴了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义；⑵了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率；⑶了解互斥事件相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率；⑷会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.11．概率与统计：⑴了解随机变量、离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列；⑵了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差；⑶会用抽机抽样，系统抽样，分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本；⑷会用样本频率分布去估计总体分布；⑸了解正态分布的意义及主要性质；⑹了解假设检验的基本思想；⑺会根据样本的特征数估计总体；⑻了解线性回归的方法.12．极限、导数、复数：了解导数概念的某些实际背影（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；一、建构函数模型的应用性问题解答函数型应用题，一般先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答．因此，这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用．1．某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q（百件）与销售价p（元／件）之间的关系用右图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其它费用为每月13200元．124584060qp81-36-（Ⅰ）若当销售价p为52元／件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？讲解本题题目的篇幅较长，所给条件零散杂乱，为此，不仅需要划分段落层次，弄清每一层次独立的含义和相互间的关系，更需要抓住矛盾的主要方面．由题目的问题找到关键词——“收支平衡”、“还清所有债务”，不难想到，均与“利润”相关．从阅读和以上分析，可以达成我们对题目的整体理解，明确这是一道函数型应用题．为此，首先应该建立利润与职工人数、月销售量q、单位商品的销售价p之间的关系，然后，通过研究解析式，来对问题作出解答．由于销售量和各种支出均以月为单位计量，所以，先考虑月利润．（Ⅰ）设该店的月利润为S元，有职工m名．则4010060013200Sqpm．又由图可知：2140,4058825881ppqpp．所以，2140401006001320040588240100600132005881ppmpSppmp由已知，当52p时，0S，即214040100600132000ppm解得50m．即此时该店有50名职工．（Ⅱ）若该店只安排40名职工，则月利润2140401003720040588240100372005881pppSppp当4058p时，求得55p时，S取最大值7800元．当5881p时，求得61p时，S取最大值6900元．综上，当55p时，S有最大值7800元．设该店最早可在n年后还清债务，依题意，有1278002680002000000n．解得5n．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．点评求解数学应用题必须突破三关：（1）阅读理解关：一般数学应用题的文字阅读量都比较大，要通过阅读审题，找出关键词、句，理解其意义．（2）建模关：即建立实际问题的数学模型，将其转化为数学问题．（3）数理关：运用恰当的数学方法去解决已建立的数学模型．2．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P与日产量x（件）之间大体满足关系：11,96962,3xcxNxPxcxN其中c为小于的正常数．11,96962,3xcxNxPxcxN其中c为小于的正常数注：次品率P次品数生产量，如0.1P表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．-37-已知每生产一件合格的仪器可以盈利A元，但每生产一件次品将亏损2A元，故厂方希望定出合适的日产量．（Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；（Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？讲解：（Ⅰ）当xc时，23P，所以，每天的盈利额120332ATxAx．当1xc时，196Px，所以，每日生产的合格仪器约有1196xx件，次品约有196xx件．故，每天的盈利额113196962296AxTxAxxAxxx综上，日盈利额T（元）与日产量x（件）的函数关系为：3,12960,xxAxcTxxc．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当xc时，每天的盈利额为0．当1xc时，3296xTxAx．为表达方便，令96xt，则09695ct．故39611441144147969797202222tTtAtAtAAttt39611441144147969797202222tTtAtAtAAttt．（等号当且仅当144tt，即1288tx即时成立）．所以，（1）当88c时，max1472TA（等号当且仅当88x时成立）．（2）当188c时，由1xc得129695ct，易证函数144gttt在(12,)t上单调递增（证明过程略）．所以，()96gtgc．所以，2114411441441892979796022961922ccTtAcAAtcc2114411441441892979796022961922ccTtAcAAtcc．即2max14418921922ccTAc．（等号当且仅当xc时取得）综上，若8896c，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c，则当日产量为c时，可获得最大利润．点评基本不等式和函数的单调性是求解函数最值问题的两大重要手段．3.某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产-38-品x（百台），其总成本为G（x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x)满足R(x)=)5(2.10)50(8.02.44.02xxxx.假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律.（1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解：依题意，G（x)=x+2,设利润函数为f(x),则)5(2.8)50(8.22.34.0)(2xxxxxxf(1)要使工厂有赢利，则有f(x