高考数学一轮单元复习：第55讲 二项式定理

│二项式定理│知识梳理知识梳理1．二项式定理(a＋b)n＝(n∈N*)，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项系数Ckn(k＝0,1，…，n)叫做展开式的，第k＋1项Tk＋1＝(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)叫做二项展开式的通项公式．二项展开式的特点(1)项数：共有项；(2)(a＋b)n的展开式中各项均为a与b的n次齐次式，其中二项式系数Cknan－kbkn＋1C0nan＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋Cknan－kbk＋…+Cnnbn│知识梳理a的指数由n逐项减少到0，b的指数由0逐项增加到n，简称“一降二升”；(3)注意区分“项”、“项数”、“系数”、“二项式系数”等概念的区别．2．二项式系数的性质(1)对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，事实上这一性质直接由公式得到．(2)增减性∵Ckn＝n－k＋1kCk－1n，Ckn＝Cn－kn│知识梳理∴当k＜时，二项式系数逐渐增大，由对称性知后半部分是逐渐减小的．(3)最大值当n为偶数时，中间一项(第项)的二项式系数最大，最大值为.当n为奇数时，中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为：n＋12n2＋12nnCn－12＋1n＋12＋1│知识梳理最大值为或.(4)各项二项式系数和C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝.(5)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即＝2n－1.12nnC12nnC2nC0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…│要点探究要点探究►探究点1通项公式的应用例1[2009·四川卷]2x－12x6的展开式的常数项是________．【思路】令展开式的通项中x的幂指数等于0确定待定系数r.│要点探究【答案】-20【解析】Tr＋1＝(－1)rCr6(2x)6－r12xr＝(－1)rCr626－2r·x6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故展开式的常数项为(－1)3C36＝－20.【点评】这类带有减号的二项展开式最容易出现问题的就是忽视了(－1)r这个因素，导致最后结果产生符号的差异．│要点探究变式题[2009·浙江卷]在二项式x2－1x5的展开式中，含x4的项的系数是()A．－10B．10C．－5D．5【思路】令展开式的通项中x的幂指数等于4确定待定系数r.│要点探究【解答】B对于Tr＋1＝Cr5(x2)5－r－1xr＝(－1)rCr5x10－3r，对于10－3r＝4，∴r＝2，则x4的项的系数是C25(－1)2＝10.│要点探究►探究点2二项式系数与项的系数例2已知12＋2xn，(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式中前3项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．【思路】根据条件可以求出n，再根据n的奇偶性，确定二项式系数最大的项；系数最大的项则由不等式组解得．│要点探究【解答】(1)由2C5n＝C4n＋C6n得n＝7或n＝14，n＝7时，二项式系数最大的项是第四项和第五项，第四项的系数为C3712423＝352，第五项的系数为C4712324＝70；n＝14时，二项式系数最大的项是第八项，第八项的系数为C71412727＝3432.│要点探究(2)由C0n＋C1n＋C2n＝79得n＝12(n＝－13舍去)，由Cr121212－r2r≥Cr－1121213－r2r－1，Cr121212－r2r≥Cr＋1121211－r2r＋1及r∈Z得r＝10.所以展开式中系数最大的项是T11＝C10121222x10＝16896x10.│要点探究【点评】求展开式中系数最大项的步骤是：先假设第r＋1项系数最大，则它比相邻两项的系数都不小，列出不等式组并解此不等式组求得．│要点探究变式题[2009·全国卷Ⅰ]x－y10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于________．【思路】根据二项展开式的通项公式分别找到所求两项的系数即可．【答案】－240│要点探究【解析】根据二项展开式的通项公式T4＝C310x7(－y)3＝－C310x7y3，故x7y3的系数为－C310，同理x3y7的系数为－C710，故x7y3的系数与x3y7的系数之和为－C310＋(－C710)＝－2C310＝－240.│要点探究例3已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)a0＋a1＋a2＋…＋a7.【思路】利用赋值法可求得．►探究点3赋值法在二项展开式中的应用│要点探究【解答】令x＝1则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，①令x＝－1则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37，②(1)令x＝0，则a0＝(1－0)7＝1，∴a1＋a2＋…＋a7＝－2，(2)(①－②)÷2得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.│要点探究(4)方法一：∵(1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二：a0＋a1＋a2＋…＋a7可看作(1＋2x)7展开式中各项的系数和，∴a0＋a1＋a2＋…＋a7＝37＝2187.│要点探究【点评】求关于展开式中系数和问题，往往根据展开式的特点赋给其中字母一些特殊的数，如：1,0，－1，….│要点探究变式题[2009·陕西卷]若(1－2x)2009＝a0＋a1x＋…＋a2009x2009(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a200922009的值为()A．2B．0C．－1D．－2【思路】赋值求解，令x＝0，可得a0；令x＝12，可得a0＋a12＋a222＋…＋a200922009.│要点探究【解答】C令x＝0，可得a0＝1；令x＝12，可得a0＋a12＋a222＋…＋a200922009＝0，故a12＋a222＋…＋a200922009＝－1.│要点探究►探究点4二项式定理的应用例4[2009·江西卷]若C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn能被7整除，则x，n的值可能为()A．x＝4，n＝3B．x＝4，n＝4C．x＝5，n＝4D．x＝6，n＝5【思路】逆用二项式定理，结合选项进行分析解决．│要点探究【解答】CC1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n－1，这个结果要是被7整除，最简单的可能就是x＝5，此时(1＋x)n＝6n＝(7－1)n，只要n再是偶数即可，结合选项可知正确选项为C.【点评】用二项式定理证明整除问题是二项式定理的主要应用之一，在各个版本的教材中均有类似题目，如人教A版选修2－3习题1.3B组中就有题目“用二项式定理证明：(1)(n＋1)n－1能被n2整除；(2)9910－1能被1000整除”．用二项式定理证明整除问题时往往要对二项式进行一定的变化，变化的依据是整除问题中的除数，如证明233－1可以被7整除时，就要把233变化为811，进一步变化为(7＋1)11，这样用二项式定理展开后，除了最后一项1以外，其余各项都含有因子7，最后一项抵消后这个式子就能够被7整除．│要点探究│要点探究变式题7777－7被19除所得的余数是________．【思路】考查77和19的倍数之间的关系，构造使用二项式定理的条件．【解析】7777－7＝76＋177－7＝76M＋1－7，余数为13.【答案】13│规律总结规律总结1．二项式(a＋b)n的展开式共有n＋1项．2．二项式定理的核心是它的通项公式，二项式系数为Crn的项是二项展开式的第r＋1项．3．二项式系数、二项展开式项的系数是两个不同的概念，在解题时要注意区分．4．求两个二项式乘积中某些特定项或特定项的系数要注意利用多项式的乘法法则．5．注意体会方程思想、不等式思想在解题中的应用．