高考数学三轮冲刺复习课件：第1讲《函数与方程思想》ppt课件

1．函数与方程思想的含义(1)函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决．经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等．第一讲函数与方程思想(2)方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决．方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系．2．函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)0(或f(x)0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．[例1]长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB(劣弧)上，OC＝mOA＋nOB，则m＋n的最大值是________．求最值或参数的范围[思维流程][解析]建立平面直角坐标系，设向量OA＝(2,0)，向量OB＝(1，3)．设向量OC＝(2cosα，2sinα)，0≤α≤π3.由OC＝mOA＋nOB，得(2cosα，2sinα)＝(2m＋n，3n)，即2cosα＝2m＋n,2sinα＝3n，解得m＝cosα－13sinα，n＝23sinα.故m＋n＝cosα＋13sinα＝233sinα＋π3∈1，233.[答案]233——————————规律·总结—————————————四类参数范围(或最值)的求解方法(1)求字母(式子)的值的问题往往要根据题设条件构建以待求字母(式子)为元的方程(组)，然后由方程(组)求得．(2)求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决．1．(1)若a，b是正数，且满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________．(2)如果方程cos2x－sinx＋a＝0在0，π2上有解，则a的取值范围为________．解析：(1)法一：(看成函数的值域)∵ab＝a＋b＋3，a≠1，∴b＝a＋3a－1.而b0，∴a＋3a－10.即a1或a－3，又a0，∴a1，故a－10.∴ab＝a·a＋3a－1＝a－12＋5a－1＋4a－1＝(a－1)＋4a－1＋5≥9.当且仅当a－1＝4a－1，即a＝3时取等号．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法二：若设ab＝t，则a＋b＝t－3，∴a，b可看成方程x2－(t－3)x＋t＝0的两个正根．从而有Δ＝t－32－4t≥0，a＋b＝t－30，ab＝t0，即t≤1或t≥9，t3，t0，解得t≥9，即ab≥9.∴ab的取值范围是[9，＋∞)．法三：(看成不等式的解集)∵a，b为正数，∴a＋b≥2ab，又ab＝a＋b＋3，∴ab≥2ab＋3.即(ab)2－2ab－3≥0，解得ab≥3或ab≤－1(舍去)，∴ab≥9.即ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)把方程变形为a＝－cos2x＋sinx.设f(x)＝－cos2x＋sinx，x∈0，π2.显然当且仅当a属于f(x)的值域时，a＝f(x)有解．f(x)＝－(1－sin2x)＋sinx＝sinx＋122－54，且由x∈0，π2知sinx∈(0,1]．易求得f(x)的值域为(－1,1]，故a的取值范围是(－1,1]．答案：(1)[9，＋∞)(2)(－1,1][例2]设函数f(x)＝1x，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是()A．x1＋x20，y1＋y20B．x1＋x20，y1＋y20C．x1＋x20，y1＋y20D．x1＋x20，y1＋y20解决图像交点或方程根等问题[思维流程][解析]由于函数y＝f(x)的图像在一、三象限且关于坐标原点对称，函数y＝g(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x20，由于y1＋y2＝1x1＋1x2＝x1＋x2x1x2，故x1＋x2，y1＋y2一定异号．问题即为方程－x2＋bx＝1x仅有两个不同的实根，即方程x3－bx2＋1＝0有一个二重根、一个单根．根据方程根的理论，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2为一个单根，则x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋x2)x2＋(x21＋2x1x2)x－x21x2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得－x21x2＝1，则x20，且x21＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x20，所以x1＋x20，y1＋y20.[答案]B——————————规律·总结—————————————解决图像交点及方程根等问题的方法函数图像的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用．2．已知方程9x－2·3x＋(3k－1)＝0有两个实根，则实数k的取值范围为________．解析：令3x＝t0，则方程化为t2－2t＋(3k－1)＝0(t0)(*)，要使原方程有两个实根，方程(*)必须有两个正根，∴Δ＝22－43k－1≥0，t1·t2＝3k－10，t1＋t2＝20，解得13k≤23.故实数k的取值范围是13，23.答案：13，23[例3](2013·郑州模拟)已知函数f(x)＝lnx－14x＋34x－1，g(x)＝－x2＋2bx－4，若对任意x1∈(0,2)，x2∈[1,2]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，求实数b的取值范围．[思维流程]函数与方程思想在不等式中的应用[解]问题等价于f(x)min≥g(x)max.f(x)＝lnx－14x＋34x－1，所以f′(x)＝1x－14－34x2＝4x－x2－34x2，由f′(x)0得x2－4x＋30，解得1x3，故函数f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x＝1是函数的极小值点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以f(x)min＝f(1)＝－12.由于函数g(x)＝－x2＋2bx－4，x∈[1,2]．当b1时，g(x)max＝g(1)＝2b－5；当1≤b≤2时，g(x)max＝g(b)＝b2－4；当b2时，g(x)max＝g(2)＝4b－8.故问题等价于b1，－12≥2b－5或1≤b≤2，－12≥b2－4或b2，－12≥4b－8.解第一个不等式组得b1，解第二个不等式组得1≤b≤142，第三个不等式组无解．综上所述，b的取值范围是－∞，142.——————————规律·总结—————————————不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图像和性质解决问题．同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化．一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数．3．设f(x)＝lnx＋x－1，证明：(1)当x1时，f(x)32(x－1)；(2)当1x3时，f(x)9x－1x＋5.证明：(1)法一：记g(x)＝lnx＋x－1－32(x－1)，则当x1时，g′(x)＝1x＋12x－320.又g(1)＝0，故g(x)0，即f(x)32(x－1)．法二：由均值不等式，当x1时，2xx＋1，故xx2＋12.①令k(x)＝lnx－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝1x－10，故k(x)0，即lnxx－1.②由①②得，当x1时，f(x)32(x－1)．(2)法一：记h(x)＝f(x)－9x－1x＋5，当1x3时，由(1)得h′(x)＝1x＋12x－54x＋52＝2＋x2x－54x＋52x＋54x－54x＋52＝x＋53－216x4xx＋52.令l(x)＝(x＋5)3－216x,1x3，则l′(x)＝3(x＋5)2－2160，因此l(x)在(1,3)内是递减函数，又由l(1)＝0，得l(x)0，所以h′(x)0.因此h(x)在(1,3)内是递减函数，又由h(1)＝0，得h(x)0.于是当1x3时，f(x)9x－1x＋5.法二：记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当1x3时，由(1)得h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－932(x－1)＋(x＋5)1x＋12x－9＝12x[3x(x－1)＋(x＋5)(2＋x)－18x]12x3xx－1＋x＋52＋x2＋12－18x＝14x(7x2－32x＋25)0，因此h(x)在(1,3)内单调递减，又h(1)＝0，所以h(x)0，即f(x)9x－1x＋5.[例4]若数列{an}的通项公式为an＝83×18n－3×14n＋12n(其中n∈N*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________.函数与方程思想在数列中的应用[思维流程][解析]令x＝12n，则0x≤12.构造f(x)＝83x3－3x2＋x，x∈0，12，所以f′(x)＝8x2－6x＋1.令f′(x)＝0，解得x1＝14，x2＝12，所以f(x)在0，14上为增函数，在14，12上为减函数．所以f(x)max＝f14，即当x＝14时，f(x)最大．所以当n＝2时，an取得最大值，即m＝2.[答案]2—————————规律·总结—————————————数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤是：第一步：分析数列式子的结构特征．第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式．第三步：研究函数性质．结合解决问题的需要研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究．第四步：回归问题．结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题．4．(2013·全国高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．解：设{an}的公差为d.由S3＝a22得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2