数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组1数列通项与求和一．求数列通项公式1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）例．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式．答案：35nan2．公式法：已知nS（即12()naaafn）求na，用作差法：11,(1),(2)nnnanaSSn例．设正整数数列{}na前n项和为nS，满足21(1)4nnSa，求na答案：21nan3．作商法：已知12()naaafn求na，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)nfnfnanfn。如数列}{na中，,11a对所有的2n都有2321naaaan，则53aa；答案：61164．累加法：若1()nnaafn求na：11221()()()nnnnnaaaaaaa。例．已知数列，且a1=2，an+1=an+n，求an．答案：242nnna5．累乘法：已知1()nnafna求na，用累乘法：121121nnnnnaaaaaaaa(2)n例．已知数列na满足321a，nnanna11，求na。答案：23nan6．已知递推关系求na，用构造法（构造等差．等比数列）。（1）形如nfpaann1只需构造数列nb，消去nf带来的差异．其中nf有多种不同形式①nf为常数，即递推公式为qpaann1（其中p，q均为常数，)0)1((ppq）。1a(2)n盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组2解法：转化为：)(1taptann，其中pqt1，再利用换元法转化为等比数列求解。例．已知数列na中，11a，321nnaa，求na．答案：123nna②nf为一次多项式，即递推公式为srnpaann1例．设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na．答案：1631nnan③)(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn2；（2）递推公式为nnnqpaa1（其中p，q均为常数，)0)1)(1((qppq）。（或1nnnaparq，其中p，q，r均为常数）解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：qqaqpqannnn111引入辅助数列nb（其中nnnqab），得：qbqpbnn11再应用类型（1）的方法解决。例．已知数列na中，651a，11)21(31nnnaa，求na。答案：113()2()23nnna（3）递推公式为nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts，再应用前面类型（2）的方法求解。例．已知数列na中，11a，22a，nnnaaa313212，求na。答案：1731()443nna7．形如11nnnaakab或11nnnnabakaa-=的递推数列都可以用倒数法求通项。例．1,13111aaaannn盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组3答案：132nan8.利用平方法、开平方法构造等差数列例1．数列na的各项均为正数，且满足121nnnaaa，12a，求na。答案：2(21)nan例2．已知21()(2)2fxxx，求：（1）1()fx；（2）设11111,()()nnafanNa，求na。答案：（1）121()2(0)fxxx（2）121nan9．rnnapa1型该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。两边取对数得)lg(lg1rnnapannarpalglglg1设nnablg∴原等式变为prbbnnlg1即变为基本型。例．已知3,2211nnaaa，求其通项公式。答案：1223()3nna练习：1.已知11a且1122nnnaa，求na答案：1()22nnan2.已知13a且132nnnaa，求na答案：1532nnna3.已知数列na中，311a，前n项和nS与na的关系是nnannS)12(，试求通项公式na。盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组4解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：化简得：上式可化为：故数列{}是以为首项,公比为2的等比数列.故∴数列{}的通项公式为：.4.设数列na满足211233333nnnaaaa…，n*N．求数列na的通项；解：由得则所以数列的通项公式为5.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．求数列的通项公式；解：因为①所以②所以②式－①式得则1112(1)2(1)nnnnnnnaSSaa1122(1)nnnaa1122(1)2[(1)]33nnnnaa2(1)3nna112(1)3a121(1)233nnna121222(1)[2(1)]333nnnnnana22[2(1)]3nnna1n2aan1n1n2aan1n112232n1n1nnna)aa()aa()aa()aa(a1)1n(2n)1n(21)1n(]12)2n()1n[(21)112()122(]1)2n(2[]1)1n(2[}a{n2nna()yfx'()62fxx{}nanS(,)()nnSnN()yfx{}na)2n(a)1n(a3a2aa1n321nn1n3211nnaa)1n(a3a2aann1nnaaa)2n(a)1n(an1n盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组5则所以③由，取n=2得，则，又知，则，代入③得6.已知数列满足，，求数列的通项公式。已知nnnaaa3,311，求通项an．答案：1(31)2nnan7.已知数列满足，求数列的通项公式。答案：31nnan8.已知113a且113nnnSSa，求na答案：1(33)nann9.已知数列满足，求数列的通项公式。答案：131(2)322nnan10.已知数列满足413nnaa，，求数列的通项公式。答案：114313(73)3nna11.已知数列{an}的首项a1=35，an+1=nn32+1aa，n=1，2，…，求{an}的通项公式；答案：332nnna)2n(1naan1n2232n1n1nnnaaaaaaaa22a2!na]34)1n(n[)2n(a)1n(a3a2aa1n321n212a2aa12aa1a11a22!nn5431an}a{nnn1n23a2a2a1}a{n}a{n3a132aa1nn1n，}a{n}a{n3a132a3a1nn1n，}a{n}a{n7a1}a{n盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组612.设数列{}na满足10a且11111nnnaa，求na答案：2212nann13.已知等比数列{}nb，11b，等差数列{}na（0d）中，2514,,aaa为{}nb中连续的三项，求nb答案：13nnb14.已知各项为正数的数列{}na满足2223121(4)3naaann，求na答案：21nan15.已知11a，且113nnnaSS，求na答案：21,12,2nnnan16.已知12a且122nnnaaa，求na答案：2nan17．已知nnnaaa3,311，求通项an．答案：2223nnna18.已知nb是首项为1，公差为43的等差数列，且12212nnaanabn。（1）求证：na也是等差数列；（2）若112233456478910.,,cacaacaaacaaaa，如此构成数列nc，求数列nc的通项公式。答案：3()ncnnN二．数列求和1．公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论．；③常用公式：盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组71123(1)2nnn，222112(1)(21)6nnnn，33332(1)123[]2nnn．例．已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.答案：112nnS2．分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．例2．求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，…答案：12312nnaannSa3．倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）．例3．求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值答案：44.5nS4．错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）．例4．求和：132)12(7531nnxnxxxS………………………①例5．求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和．答案：1242nnnS5．裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤11(1)!!(1)!nnnn；盛阳教育SHENGYANGEDUCATION高中部●数学学科组8⑥2122(1)2(1)11nnnnnnnnn．例6．求数列,11,,321,211nn的前n项和．答案：11nSn例7．在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和．答案：81nnSn6．通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8．求11111111111个n之和．答案：11010981nnnS三．能力综合1．数列{an}的通项公式为an=1n+1+n，已知前m项和Sm=9，则m为()A