【创新设计】2015届高考数学一轮总复习 培养解题能力精讲系列 专题三 导数及其应用课件 理 苏教版

答题模板三角函数的最值(或值域)问题易错辨析三角函数图象变换时因自变量系数致误教你审题三角函数求值中变角问题灵活运用同角三角函数的基本关系式求值方法优化yxo【典例1】(2012·辽宁卷)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1B．－22C.22D．1[一般解法]由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得：2cos2α＋22cosα＋1＝0，即()2cosα＋12＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tanα＝tan3π4＝－1.A典例11、方法优化灵活运用同角三角函数的基本关系式求值(1)熟记同角三角函数关系式及诱导公式,特别是要注意公式中的符号问题；(2)注意公式的变形应用,如sin2α＝1－cosα,cos2α＝1－sin2α,1＝sin2α＋cos2α及sinα＝tanα·cosα等.这是解题中常用到的变形,也是解决问题时简化解题过程的关键所在.【典例1】(2012·辽宁卷)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则tanα＝()．A．－1B．－22C.22D．1[优美解法]法一因为sinα－cosα＝2，所以2sinα－π4＝2，所以sinα－π4＝1.因为α∈(0，π)，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.法二因为sinα－cosα＝2，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1.因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)，所以2α＝3π2，所以α＝3π4，所以tanα＝－1.[答案]AA典例11、方法优化灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【自主体验1】(2013·东北三校模拟)已知sinθ＋cosθ＝430＜θ＜π4，则sinθ－cosθ的值为()．A.23B．－23C.13D．－13解析法一∵0＜θ＜π4，∴cosθ＞sinθ，又(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝169，∴2sinθcosθ＝79，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－79＝29，∴sinθ－cosθ＝－23.B倒计时1、方法优化灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【自主体验1】(2013·东北三校模拟)已知sinθ＋cosθ＝430＜θ＜π4，则sinθ－cosθ的值为()．A.23B．－23C.13D．－13法二∵sinθ＋cosθ＝43，且θ∈0，π4.∴θ＋π4∈π4，π2，sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4＝1－2232＝13，∴sinθ－cos＝－(cosθ－sinθ)＝－2cosθ＋π4＝－23.答案BB倒计时1、方法优化灵活运用同角三角函数的基本关系式求值【典例2】(12分)(2013·陕西卷)已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．[规范解答]f(x)＝cosx，－12·(3sinx，cos2x)＝3cosxsinx－12cos2x，(2分)＝32sin2x－12cos2x＝sin2x－π6.(4分)(1)f(x)的最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π，即函数f(x)的最小正周期为π.(6分)典例2三角函数的最值(或值域)问题2、答题模板(2)∵0≤x≤π2，∴－π6≤2x－π6≤5π6.由正弦函数的性质，得(8分)当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值1.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(0)＝－12，当2x－π6＝5π6，即x＝π2时，fπ2＝12，∴f(x)的最小值为－12.(11分)因此，f(x)在0，π2上最大值是1，最小值是－12.(12分)【典例2】(12分)(2013·陕西卷)已知向量a＝cosx，－12，b＝(3sinx，cos2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0，π2上的最大值和最小值．典例2三角函数的最值(或值域)问题2、答题模板求解三角函数的最值(或值域)时一定要注意自变量的取值范围，由于三角函数的周期性，正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可能不在自变量区间的端点处取得，因此要把这两个最值点弄清楚．如本例中有学生直接把x＝0和x＝π2代入求得最值，这显然是错误的．第一步第二步第三步求函数f(x)＝Asin(x＋)在区间[a，b]上值域的一般步骤：三角函数式的化简，一般化成形如y＝Asin(ωx＋)＋k的形式,或y＝Acos(ωx＋)＋k的形式.由x的取值范围确定ωx＋的取值范围，再确定sin(ωx＋),(或cos(ωx＋))的取值范围.求出所求函数的值域(或最值).【自主体验2】已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间－π12，π2上的值域．解(1)f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4＝12cos2x＋32sin2x＋(sinx－cosx)(sinx＋cosx)＝12cos2x＋32sin2x＋sin2x－cos2x＝12cos2x＋32sin2x－cos2x＝sin2x－π6.∴最小正周期T＝2π2＝π，由2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋π3(k∈Z)．∴函数图象的对称轴为x＝kπ2＋π3(k∈Z)．倒计时三角函数的最值(或值域)问题2、答题模板【自主体验2】已知函数f(x)＝cos2x－π3＋2sinx－π4sinx＋π4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴；(2)求函数f(x)在区间－π12，π2上的值域．(2)∵x∈－π12，π2，∴2x－π6∈－π3，5π6，∴－32≤sin2x－π6≤1.即函数f(x)在区间－π12，π2上的值域为－32，1.倒计时三角函数的最值(或值域)问题2、答题模板【典例3】(2013·福建卷)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)(－π2θπ2)的图象向右平移φ(φ0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P(0，32)，则φ的值可以是()．A.53πB.56πC.π2D.π6[解析]依题意g(x)＝sin[2(x－φ)＋θ]＝sin(2x＋θ－2φ)，因为f(x)，g(x)的图象都经过点P0，32，所以sinθ＝32，sin(θ－2φ)＝32，典例3三角函数图象平移变换时因自变量系数致误3、易错辨析【典例3】(2013·福建卷)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)(－π2θπ2)的图象向右平移φ(φ0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P(0，32)，则φ的值可以是()．A.53πB.56πC.π2D.π6因为－π2＜θ＜π2，所以θ＝π3，则π2－2φ＝2kπ＋π3或π3－2φ＝2kπ＋2π3(k∈Z)，即φ＝－kπ或φ＝－kπ－π6(k∈Z)．在φ＝－kπ－π6(k∈Z)中，取k＝－1，即得φ＝5π6.[答案]BB典例3三角函数图象平移变换时因自变量系数致误3、易错辨析对于三角函数图像的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成ωx＋φω，最后确定平移的单位并根据φω的符号确定平移的方向．【典例3】(2013·福建卷)将函数f(x)＝sin(2x＋θ)(－π2θπ2)的图象向右平移φ(φ0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P(0，32)，则φ的值可以是()．A.53πB.56πC.π2D.π6B典例3[易错警示]函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移个单位误写成g(x)＝sin(2x＋θ＋)．三角函数图象平移变换时因自变量系数致误3、易错辨析解析y＝sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π4--------→向左平移π4个单位y＝2sin2x＋π4＋π4＝2sin2x＋π4＋π2＝2cos2x＋π4＝cos2x－sin2x.答案B【自主体验3】(2014·湖州二模)将函数y＝sin2x＋cos2x的图象向左平移π4个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是()．A．y＝cos2x＋sin2xB．y＝cos2x－sin2xC．y＝sin2x－cos2xD．y＝sinxcosxB倒计时三角函数图象平移变换时因自变量系数致误3、易错辨析审题＝2sinα＋π6cosα＋π6－222cos2α＋π6－1＝2×35×45－222×452－1＝12225－7250＝17250.[答案]17250【典例4】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．[解析]∵α为锐角且cosα＋π6＝45，∴α＋π6∈π6，2π3，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π4＝sin2α＋π6cosπ4－cos2α＋π6sinπ4典例4一审条件：cos546π，为锐角，二审问题：sin12π2？三找关系：462432122πππππ，解题变得明朗化！三角函数求值中的变角问题4、教你审题【典例4】(2012·江苏卷)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为________．解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系，通过适当地拆角、凑角来利用所给条件．常见的变角技巧有：α＋β2＝α－β2－α2－β；α＝(α－β)＋β等；π4＋φ＝π2－π4－α；15°－45°－30°等．典例4三角函数求值中的变角问题4、教你审题【自主体验4】已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，则cos(α－β)的值为________．解析∵cosα＝13，α∈0，π2，∴sinα＝223，∴sin2α＝429，cos2α＝－79.又cos(α＋β)＝－13，α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝223.∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.答案2327倒计时三角函数求值中的变角问题4、教你审题