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第1页共21页2019届浙江省重点中学高三12月期末热身联考数学试题一、单选题1．已知M＝｛x｜x＞1｝，N＝｛x｜x2－2x－8≤0｝，则＝A．［－4,2）B．（1,4］C．（1，＋∞）D．（4，＋∞）【答案】B【解析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【详解】：集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，集合N＝{x|x1}，∴M∩N＝{x|1x≤4}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．已知i为虚数单位，复数，则＝A．1B．2C．D．5【答案】C【解析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【详解】，所以故选：C。【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础．3．已知双曲的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是A．B．C．2D．【答案】D第2页共21页【解析】利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】双曲的渐近线方程为：，由题可知：，所以，即：，所以双曲线的离心率为：，故选：D。【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4．已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．故选：B．【点睛】第3页共21页本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．5．函数的大致图像是A．B．C．D．【答案】A【解析】通过函数的变化趋势，推出结果即可．【详解】当x0，且无限趋近于0时，f（x）0，排除B,C，当时，，且指数幂变化较快，故，排除D。故选：A【点睛】本题考查函数的图象的判断，考查计算能力．6．展开式中，的系数是第4页共21页A．80B．－80C．40D．－40【答案】B【解析】由二项式定理的通项公式列方程，求出，求出项的系数即可。【详解】由二项式定理的通项公式得：，令，解得：，所以的系数为：故选：B。【点睛】本题考查二项展开式中的项的系数的求法，考查二项式定理、通项公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．7．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+4y的取值范围是A．［－6,4］B．［2,4］C．［2，+∞）D．［4，+∞）【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由z＝x+4y可得：，平移直线，由图像可知：当直线过点第5页共21页B时，直线的截距最小，此时z最小。将代入目标函数得：，故选：C。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．8．已知函数，若恒成立，则实数a的最小正值为A．2B．C．D．【答案】D【解析】由可判断函数的周期为，求出的最小正周期，列不等式求解。【详解】由可判断函数的周期为，又=，其最小正周期为，所以，即：故选：D。【点睛】熟记结论：如果函数满足的周期为，此题主要考查如何求函数的周期．9．已知方程有且仅有两个不同的实数解，则以下有关两根关系的结论正确的是A．B．C．D．【答案】A第6页共21页【解析】化简方程，把方程的解转化为函数的图象的交点问题，利用相切表示出，将点A坐标代入直线整理即可。【详解】由可得：，因为方程有且仅有两个不同的实数解，所以直线与曲线相切，如图：直线与曲线的交点为，切点为当时，，所以，所以，即，又点，将它代入直线可得：。故选：A。【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，直线与曲线相切的转化，导数与切线斜率的关系，考查计算能力，属于基础题．10．如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60º，则点Q运动的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【答案】D第7页共21页【解析】建立空间坐标系，设，求出点的坐标，由直线AQ与棱AP所成角为60º，利用空间向量夹角公式列方程，得到关于的方程，从方程的形式可判断Q点的轨迹。【详解】如图，过点A引平面PDC的垂线，垂足为O，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，其中轴与直线DC平行，点P在轴的负半轴上。由题可知PA平面ADC，又,求得点A到平面PCD的距离为：，所以，，设，所以，，又直线AQ与棱AP所成角为60º，所以，整理得：，所以点Q的轨迹为抛物线。【点睛】本题考查了等体积法、利用空间向量表示其夹角的余弦值及求轨迹方程方法，通过轨迹的方程来判断轨迹，还考查了转化思想。二、填空题11．已知随机变量的的分布列为：若E（）＝，则x+y＝__；D（）＝___第8页共21页【答案】【解析】由期望公式及概率和为1列方程组求解。再利用方差公式求【详解】由题可得：，解得：，所以，所以。【点睛】本题考查期望的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．若＝6，则＝___；＝___【答案】【解析】利用对数知识将表示出来，再利用对数运算求解。【详解】由题可得：，，所以=，=。【点睛】本题主要考查了对数的定义及对数运算公式，计算一般，属于基础题。13．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___；表面积是____第9页共21页【答案】【解析】根据三视图可判断几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥而得到的图形，由图中数据可求出对应长方体的长、宽、高，利用面积公式求表面积，利用三棱柱的体积减去三棱锥的体积得到对应的体积。。【详解】根据三视图可得，该几何体是长方体中的四棱锥,由三视图可得：,，，【点睛】本题主要考查了三视图--长对正、宽平齐、高相等得到实物图中的数据，由三视图还原实物图处理问题，还考查了表面积、体积求法。14．已知直线．若直线与直线平行，则的值为____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．【答案】-1..【解析】分析：（1）利用平行线的斜率关系得到m值.(2)利用数形结合求出弦长的最小第10页共21页值.详解：由题得当m=1时，两直线重合，所以m=1舍去，故m=-1.因为圆的方程为，所以，所以它表示圆心为C（-1,0）半径为5的圆.由于直线l：mx+y-1=0过定点P(0，-1),所以过点P且与PC垂直的弦的弦长最短.且最短弦长为故答案为：-1，.点睛：本题的第一空是道易错题，学生有容易得到实际上是错误的.因为是两直线平行的非充分非必要条件，所以根据求出m的值后，要注意检验，本题代入检验，两直线重合了，所以要舍去m=1.15．向量，满足：｜｜＝2，｜+｜＝1，则的最大值为__【答案】【解析】设出的坐标，从而表示出的坐标，然后将表示成函数关系，把问题转化成函数的最大值问题解决。【详解】由题可设，，则，所以当时，等号成立。所以的最大值为.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及数量积的坐标表示，还考查了同角三角函数基本关系，两角差的余弦公式，考查了转化思想。16．如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有__种。第11页共21页【答案】【解析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有种涂法，满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法。所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．17．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知底面四边形ABCD为矩形，∠A1AB＝∠A1AD＝。其中｜AB｜＝a，｜AD｜＝b，｜AA1｜＝c，体对角线｜A1C｜＝1，则c的最大值为__【答案】【解析】利用线面角的结论求出线面角，再利用正弦定理列方程，把问题转化成三角函数最值问题来解决。【详解】如图，由∠A1AB＝∠A1AD＝可知，点在底面的射影点在直线AC上，记直线与底面所成的角为，则,第12页共21页所以，所以，在中，由正弦定理可知：，所以,当时，最大为。【点睛】本题考查了线面角的结论：当∠A1AB＝∠A1AD时（点在平面ABD外），（其中为直线与平面ABD所成的角，为直线与直线AB的夹角，为直线AB与直线在平面ABD的射影的夹角），还考查了正弦定理及转化思想。三、解答题18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且满足：。（1）求∠A。（2）若D是BC中点，AD＝3，求△ABC的面积。【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理化简即可求得，从而可求A的值．（2）在中由余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，在中利用余弦定理列方程，联立可得的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】：（1），第13页共21页则，（2）方法一：在中，即.在中，同理中，而，有，即.联立得，.方法二：又①②②①得方法三：（极化式）第14页共21页【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，等腰直角三角形ABC中，∠B是直角，平面ABEF⊥平面ABC，2AF＝AB＝BE，∠FAB＝60º，AF∥BE。（1）求证：BC⊥BF；（2）求直线BF与平面CEF所成角的正弦值。【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（1）由及为直角可得到，结合已知条件命题得证。（2）作，连结.由（1）得：，作，再证得：平面，则即为所求线面角.解三角形BFH即可。【详解】解：（1）证明：直角中∠B是直角，即，，，，，又，.（2）方法一：作，连结.第15页共21页由（1）知平面，得到，又，所以平面.又因为平面，所以平面平面.作于点H，易得平面，则即为所求线面角.设，由已知得，，，，.则直线与平面所成角的正弦值为.方法二：建立如图所示空间直角坐标系，第16页共21页因为.由已知，，，，，，，设平面的法向量为，则有，令，则.即.所以直线与平面所成角的正弦值.方法三（等积法）：设2AF=AB=BE=2，为等腰三角形，AB=BC=2∠FAB=60°，2AF=AB，又AF//BE，.由（1）知，，，，，，又，则有.令到平面距离为，有，第17页共21页故所求线面角.【点睛】本题考查立体几何中的线面关系、空间角、空间向量等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力、等价转化能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．20．已知数列｛｝满足：，。（1）求及数列｛｝的通项公式；（2）若数列｛｝满足：，，求数列｛｝的通项公式。【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分别令可求得，再用代等式中的得到方程，联立方程作差即可。（2）根据题意列方程组，利用累加法得到的表达式，再利用错位相减法求和。【详解】解：（1）时，时①②①2×②满足上式，故.（2），有累加整理①②第18页共21页②①得满足上式，故.【点睛】（1）主要考查了赋值法及方程思想。（2）考查了累加法，错位相减法求和，用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在