2019届福建省厦门外国语学校高三1月月考数学(理)试题(解析版)

第1页共18页2019届福建省厦门外国语学校高三1月月考数学（理）试题一、单选题1．1．已知集合2|40,AxxxxZ，2|,ByymmA，则AB()A．0,1,4B．0,1,6C．0,2,4D．0,4,16【答案】A【解析】01234014916AB，，，，，，，，，，∴014AB，，，故选A．2．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，故为必要不充分条件.3．数列为等差数列，是其前项的和，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】利用等差数列前项公式，以及等差数列的形式，将转化为的形式，求出，进而求得的值.【详解】依题意，所以，故.故选D.【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，以及考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4．若122,0,2,0FF，124PFPFaa（常数0a），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．椭圆或直线【答案】C第2页共18页【解析】当a=2时，若F1（﹣2，0），F2（2，0），|PF1|+|PF2|=4，则点P的轨迹是线段，当2a时124PFPFaa4,这时轨迹是椭圆。故答案为C。5．已知实数,xy满足0{260xyxxy，则22xyx的最小值为（）A．1B．3C．4D．6【答案】C【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知目标函数22220yxyxx在点2,2处取得最小值为4.【考点】线性规划.6．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗,三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的值为0，则开始输入的值为()第3页共18页A．B．C．D．【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得时，，满足条件，执行循环体；时，，满足条件执行循环体；时，，不满足条件，退出循环体，输出∴∴故选C7．已知函数的最大值为2，且满足，则（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】函数满足，则函数关于直线对称，由函数的解析式可得：，分类讨论：若，则，第4页共18页由函数的对称性可得：，令可得：；若，则，由函数的对称性可得：，令可得：；综上可得：或.本题选择C选项.8．已知直线1yx与双曲线22221(0,0)xyabab交于,AB两点，且线段AB的中点M的横坐标为1，则该双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．5【答案】B【解析】由题意得M1,2，设1122,,AxyBxy代入双曲线方程相减得2222222212222122223ABOMyybkkbacaaexxa故选B点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，已知弦AB的中点M坐标，可采用点差法，得出2221222212ABOMyybkkxxa是解决本题的关键.9．已知函数(为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D第5页共18页【解析】分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，令，则.当时，，故在上为减函数；当时，，故在上为增函数；所以，故，故选D.点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.10．已知等腰直角中，，斜边，点D是斜边上一点（不同于点A、B），沿线段折起形成一个三棱锥，则三棱锥体积的最大值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】设，将折起使得平面平面，求得三棱锥体积的表达式，然后利用换元法求得体积的最大值.【详解】设，将折起使得平面平面，在三角形中，由面积公式得（其中到的距离为），则.故三棱锥体积为（）.令，故，由于是递减函数，故当时取得最大值，为.【点睛】第6页共18页本小题主要考查三棱锥体积的计算，考查函数的单调性，考查换元法求函数的最值，属于中档题.11．给定两个单位向量OA，OB，且32OAOB，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，OCxOAyOB，则3xy的最小值为（）A．3B．1C．2D．0【答案】B【解析】给定两个单位向量OA，OB，且32OAOB则56AOB，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos150°，sin150°），即31,22B设∠AOC=5,06，则cos,sinOC因为OCxOAyOB则332{,{122xycosxcossinysinysin，所以3xy=3cos3sin2sin3cossin2sin3因为506，71sin,131,233632xy所以3xy有最小值-1.故选B12．已知数列的前项和为，数列为，若第7页共18页，则()A．B．C．D．【答案】D【解析】设，其从第二项起，项和.利用求得所在的位置，并由此求得的值.【详解】设，从第二项起，项和.令即，故当时符合题意.由于从开始，即，而.即，故.故选D.【点睛】本小题主要考查新定义数列的前项和的求法，以及等差数列前项和公式，考查分析和运算求解能力，属于.和中档题.解题过程中，首先是观察题目所给数列的规律，数列是分组呈现的，第一组的分母是，分子是，第二组分母是，分子从递增，以此类推.找到规律后，先求得每组和的公式，然后求整体的和，列不等式来求的位置.二、填空题13．已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数____第8页共18页【答案】1【解析】利用复数的除法运算化简复数，根据复数为纯虚数求得的值.【详解】依题意，为纯虚数，故.【点睛】本小题考查复数的除法运算、乘法运算，考查纯虚数的概念，考查运算求解能力，属于基础题.14．过直线与抛物线的两个交点，并且与抛物线准线相切的圆的为__________．【答案】【解析】求得直线与抛物线交点的坐标.根据圆的对称性得到圆心在轴上，设出圆心坐标，利用圆和准线相切列方程，解方程求得圆心坐标并求出圆的半径.【详解】抛物线的准线方程为，将代入抛物线的方程，求得，故两个交点的坐标为.由于圆和相切，根据圆的对称性可知，圆心在轴上.设圆心的坐标是，故，解得，故圆心为，半径为，所以圆的方程为.【点睛】本小题主要考查抛物线的几何性质，考查圆的方程的确定，考查直线和圆的位置关系.得到一个抛物线的方程，首先确定好抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程等等.直线和抛物线的交点坐标，可以将直线方程代入抛物线方程来求解出来.圆是对称图形，弦的垂直平分线经过圆心，这是一个很重要的性质，主要用来确定圆心的位置.15．如图，网格纸上小正方形的边长为l，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体是由一个三棱柱切割得到的，则该几何体外接球的表面积为_______第9页共18页【答案】【解析】画出三视图对应的几何体的直观图，根据几何体的三条相互垂直的棱，确定几何体外接球的半径，从而求得外接球的表面积.【详解】画出三视图对应的几何体的直观图如下图所示的三棱锥，由三视图可知两两垂直，故几何体的外接球是以分别为长、宽、高的长方体的外接球.由于，是以长方体的体对角线也即是外接球的直径为，故外接球的半径为，表面积为.【点睛】本小题主要考查空间几何体的三视图、考查几何体外接球的表面积的求法，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.16．已知直线上与函数的图象交于三点,其横坐标分别是.若对任意的，恒成立,则实数a的取值范围是________第10页共18页【答案】【解析】先找到直线所过的定点，利用导数画出函数在上的图像，在上的图像先明确过的定点，在结合直线和函数图像交点的性质，列不等式组，从而求得的取值范围.【详解】直线方程可化为，故直线过定点.当时，，故函数也过.不妨设.故恒成立.当时，令，解得，故函数在上递减，在上递减.，.画出函数在上的图像，由图可知，当时：在，与直线有且只有两个交点，且一个交点处于轴左侧，另一个交点为.时，和直线有一个交点，则.则当时，令，化简得，解得.当时，由，解得.由于，则，化简得，由于，所以.【点睛】本小题主要考查直线过定点，考查利用导数求函数的单调区间并利用单调区间画出函数图像，考查了数形结合的数学思想方法，属于中档题.三、解答题第11页共18页17．已知数列和对任意的满足，若数列是等比数列，且.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用求出，利用求出，从而求得，由此求得等比数列的首项和公比，进而求得数列的通项公式，代回已知条件求解出的通项公式.（2）利用分组求和法以及裂项相消求和法求得数列的前项和.【详解】（1）由条件可知，得，于是，，解得，又数列是等比数列，则公比为，于是，又，于是，解得.（2）由题意得，.【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的求解，考查分组求和法以及裂项相消求和法，属于中档题.18．在平面直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴的正半轴重合，终边交单位圆于点，且，点的坐标为．第12页共18页（I）若，求点的坐标；（II）若，且在中，角，，的对边分别为，，，，，求的最大值．【答案】(1).(2).【解析】试题分析：(1)由题意结合平面向量数量积的坐标运算法则结合三角函数的性质可得点的坐标是；(2)由题意结合正弦定理将边长问题转化为三角函数问题，结合辅助角公式可得的最大值是.试题解析：（1）由题意，，，因为，所以，即.又，所以，，，所以点的坐标为.（2）由知，向量，同向平行，易知直线的倾斜角为，所以，即.由正弦定理得]第13页共18页当时，.19．如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，都是正三角形.（1）证明：直线∥面；（2）在线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值是，若不存在请说明理由，若存在请求出点所在的位置。【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）通过证明，证得平面平面,由此证得平面.（2）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系设出点的坐标，利用平面和平面的法向量计算二面角的余弦值，由此列方程解出点的坐标，确定为的中点.【详解】（1）依题意，在平面中，，又平面，平面①；同理，在平面中，，平面②；面，面，面，面，由①②可得，平面平面.又面，所以直线∥面.（2）设的中点为，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系。易知，，，,.第14页共18页设，.可得，设为平面的法向量，由有，可取，又面的法向量可取，所以，所以，又，。存在满足条件的点，为中点。【点睛】本小题主要考查空间直线和平面平行的证明，考查探究某个点使二面角为定值的问题，考查方程的思想方法，属于中档题.要证明直线和平面平行，有三种方法，第一种方法是利用中位线，证得直线和平面内的一条直线平行，第二种是利用平行四边形，第三种就如本题中的，利用面面平行来证明.20．在直角坐标系中，曲线上的点均在曲线外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值．（1）求动点的轨迹的方程；（2）若点是曲线的焦点，过的两条直线关于轴对称，且分别交曲线于，若四边形的面积等于，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）求得的圆心和半径，利用题目所给“到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值”列方程，化简这个方程可求得轨迹的方程.（2）设出直线的方程，代入抛物线的方程求得弦长的值.根据对称性求得的值，利用面积公式列方程，从而求得所求直线的斜率，进而求得直线方程.【详解】（1）由已知得曲线是以为圆心，为半径的圆.设，则到直线的距离等于，又到圆上的点的距离的最小值为，所以由已知可得，化