11.通过本讲学习要学生学会对行程问题中单位进行统一;2.追及问题在分数应用题的理解与应用;3.能够理解比例及相关知识的初步引入;4.解题中追及问题公式、比例(或份数)等知识点的结合;5.统一及转化思想的应用。一、猎狗追兔的出题背景猎狗追兔是奥数中行程问题的一种,它与一般的行程问题有着某种相通性。解题关键:行程单位要统一是猎狗追兔的解题关键。通常我们遇到的题给的都是通用单位,如米、公里等等,这类题中会涉及狗步与兔步两个不同的单位,关键就在于将这两者统一,作行程问题最好能够脱离题海,要多注意总结,体会思想方法!很多看似无关的题目,实质思想是相通的!二、猎狗追兔问题问题叙述:兔子动作快、步子小;猎狗动作慢、步子大。通常我们遇到的行程问题给的路程都是通用单位:米或千米等,但这类题中狗步与兔步是不一样的单位,解题关键在于统一单位,然后利用追及问题公式“路程差÷速度差=追及时间”求解。单位的统一:在猎狗追兔的问题中,狗步与兔步之间在距离上有一定关系。例如:相同路程内,猎狗跑四步(狗步)=兔子跑七步(兔步),据此可以求出狗步与兔步的比,相同时间内(可以认为单位时间内)兔子跑3步(兔步),猎狗跑2步(狗步)进而可以求出兔子与猎狗的速度,即单位时间内分别跑多少兔步(或狗步)关键:具体是统一为狗步或兔步,要视路程差的单位而定,若路程差的单位为狗步则速度要统一为狗步,反之统一为兔步。若路程差为米或千米,则统一成狗步或兔步都行。【例1】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之.兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离.问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步?【解析】方法一:“猎狗前面26步……”显然指的是猎狗的26步。因为题目中出现“兔跑8步的时间……”和“兔跑9步的距离……”,8与9的最小公倍数是72,所以可以统一在“兔跑72步”这个情况下考虑.兔跑72步的时间狗跑45步,兔跑72步的距离等于狗跑32步距离,所以在兔跑72步的时间里,狗比兔多跑了45—32=13(步)的路程,这个13步是猎狗的13步.由此推知,要追上26(狗)步,兔跑了72×(26÷13)=144(步),此时猎狗跑了5×(144÷8)=90(步).知识精讲教学目标猎狗追兔问题2方法二:设狗跑一步为1个长度单位,则兔跑一步为49个长度单位;在相同时间内,狗的速度为515,兔的速度为432899,根据题意有3226(5)189(个单位时间).猎狗追上兔时跑了51890(个单位长度),所以狗跑了90190(步),此时兔跑了3218649(个单位长度),故兔跑了4641449(步).方法三:统一为“兔跑72步”的情况:兔跑72步的时间里狗比兔多跑了594813(步)的路程,这里的步是狗步.由此推知,要追上26狗步,兔跑了72(2613)144(步),此时猎狗跑了5(1448)90(步).【巩固】野兔逃出80步后猎狗才开始追,野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步,野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.问:猎狗至少跑多少步才能追上野兔?【解析】“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步,野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步.”讲条件转化为:“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步,野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步.”在猎狗跑15步的时间内,猎狗比野兔多跑35-27=8(兔步).猎狗追上野兔需跑:15×(80÷8)=150(步).【巩固】猎犬发现在离它9步远的前方有一只奔跑的兔子,立刻追赶,猎犬步子大.它跑5步的路程,兔子跑9步,但兔子动作快,猎犬跑2步的时间,兔子跑3步,猎犬至少跑多少步才能追上兔子?【解析】狗5步=兔子9步,步幅之比=9:5;狗2步时间=兔子3步时间,步频之比=2:3;则速度之比是9×2:5×3=6:5;这个9步是指狗的9步距离。6×9/(6-5)=54步。【巩固】一只野兔逃出100步后猎狗才开始追它,野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间兔子能跑9步,猎狗至少要跑步才能追上野兔。【解析】240步【巩固】猎狗追野兔。在相等的时间里,猎狗跳6次,野兔跳7次;而猎狗跳4次的距离等于野兔跳5次的距离。当猎狗发现野兔时,野兔已跳出离猎狗10步远的距离。问猎狗跳出多少次以后才能追上野兔?【解析】120次【巩固】一只野兔逃出80步后猎狗才追它,野兔跑8步的路程猎狗只需跑3步,猎狗跑4步的时间兔子能跑9步。猎狗至少要跑多少步才能追上野兔?【解析】猎狗每步相当于8833(兔步),猎狗的速度比兔子快85(49)4312(兔步),58019212(步)即猎狗至少要跑192步才能追上兔子。【例2】狼和狗是死对头,见面就要相互撕咬.一天,它们同时发现了对方,它们之间的距离狼要跑5683步.如果狼跑9步的时间狗跑7步,狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离,那么从它们同时奔向对方到相遇,狗跑了多少步?狼跑了多少步?【解析】由题目条件知,狼跑45步的时间狗跑35步,狼跑45步的距离等于狗跑36步的距离,也就是说,在相同的时间里,狼跑狗的36步,狗跑35步,所以,狼与狗的速度比是36:35.相遇时,狼跑了365682883635(步),狗跑了28897224(步).【巩固】小明家的猫和狗是死对头,见面就要相互打架。一天,它们同时发现了对方,它们之间的距离猫要跑260步.如果猫跑9步的时间狗跑5步,猫跑5步的距离等于狗跑3步的距离,那么从它们同时奔向对方到相遇,猫跑了多少步?【解析】135步【例3】猎狗追赶前方15米处的野兔.猎狗跑3步的时间野兔跑5步,猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.猎狗至少跑出多少米才能追上野兔?【解析】“猎狗跑3步的时间野兔跑5步,猎狗跑4步的距离野兔要跑7步.”将条件转化为:“猎狗跑12步的时间野兔跑20步,猎狗跑12步的距离野兔要跑21步.”我们也就可以这样认为:在一个单位时间内(猎狗跑12步的时间),猎狗跑了野兔的21步,野兔跑了20步,速度差为野兔的1步.追击时间=15÷野兔的1步,所以猎狗追击的距离=(15÷野兔的1步)×野兔的21步=315(米).【巩固】猎狗追赶前方30米处的野兔.猎狗步子大,它跑4步的路程兔子要跑7步,但是兔子动作快,猎狗跑3步的时间兔子能跑4步.猎狗至少跑出多远才能追上野兔?【解析】猎狗跑12步的路程兔子要跑21步,猎狗跑12步的时间兔子要跑16步,在猎狗跑12步这个单位时间内,两者的速度差为兔子的5步,所以猎狗追击距离为:30÷5×21=126(米).【巩固】一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子,已知狗一跳前进3米,兔子一跳前进2.1米,狗跳3次的时间兔子可以跳4次。问:兔子跑出多远将被猎狗追上?【解析】在一个单位时间里,狗跑3×3=9(米),兔子跑4×2.1=8.4(米),所以兔子跑的距离为:[20÷(9-8.4)]×8.4=280(米).【巩固】猎狗发现在离它10米远的地方有一只奔跑着的兔子,马上紧追上去,猎狗的步子大,它跑5步的路程,兔子要跑9步。但是兔子动作快,猎狗跑2步的时间,兔子却能跑3步。【解析】兔子9步=狗5步,兔子3步所用时间=狗2步所用时间,所以兔子的速度:狗的速度=5:6。所以狗跑的距离=狗的速度x追击时间=狗的速度x(相差距离:速度差)=6乘以10:(6-5)=60米。【巩固】猎人带猎狗去捕猎,发现兔子刚跑出40米,猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步,猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等,求兔子再跑多远,猎狗可以追上它?【解析】设狗跑2步的时间为1(分钟),兔跑3步的时间也为1(分钟);再设狗的步长为7(米),则兔的步长为4(米),推出狗的速度是2×7=14,兔的速度是3×4=12。用40÷(14-12)=20,20为追击时间。再用兔的速度乘上追击时间可得兔跑的路程,即12×20=240(米)。【巩固】猎狗发现前方150米处有一只兔子正在逃跑,拔腿就追。兔子逃跑的速度是每秒14米,猎狗追赶的速度是每秒18米。在兔子前方520米处是一片灌木丛,如果兔子能钻进灌木丛,猎狗就捉4不到它了。猎狗究竟能不能抓住兔子呢?【解析】追不上。【例4】已知猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同;猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同.而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同;猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同,猫、狗、兔沿着周长为300米的圆形跑道,同时同向同地出发.问当它们出发后第一次相遇时各跑了多少路程?【解析】方法一:由题意,猫与狗的速度之比为9:25,猫与兔的速度之比为25:49.设单位时间内猫跑1米,则狗跑259米,兔跑4925米.狗追上猫一圈需25675300194单位时间,兔追上猫一圈需496253001252单位时间.猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是6754的整数倍,又是6252的整数倍.6754与6252的最小公倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除以分母的最大公约数,即675,62567562516875,8437.5424,22.上式表明,经过8437.5个单位时间,猫、狗、兔第一次相遇.此时,猫跑了8437.5米,狗跑了258437.523437.59米,兔跑了498437.516537.525米.方法二:根据题意,猫跑35步的路程与狗跑21步的路程、兔跑25步的路程相等;而猫跑15步的时间与狗跑25步、兔跑21步的时间相同.所以猫、狗、兔的速度比为152521::352125,它们的最大公约数为15,25,211525211,,35212535,21,253557,即设猫的速度为151225353557,那么狗的速度为251625213557,则兔的速度为211441253557.于是狗每跑3300(625225)4单位时追上猫;兔每跑25300(441225)18单位时追上猫.而3,2532575,4184,182,所以猫、狗、兔跑了752单位时,三者相遇.猫跑了752258437.52米,狗跑了7562523437.52米,兔跑了7544116537.52米.课后练习