3-2.边缘分布ppt

1§3.2边缘分布边缘分布函数边缘分布律边缘概率密度2一、边缘分布函数边缘分布也称为边沿分布或边际分布．1.边缘分布的定义：称二维随机变量(X,Y)关于分量X(Y)的分布为二元随机变量(X,Y)关于X（关于Y）的边缘分布边缘分布32.已知联合分布函数求边缘分布函数边缘分布设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y),则分量X的分布函数为FX(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y+∞}=F(x,+∞)同理,分量Y的分布函数为FY(y)=P{Y≤y}=P{X+∞,Y≤y}=F(+∞,y)4例1：设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数为3arctan2arctanyCxBAyxF，yx，221CBA试求（1）常数A,B,C;(2)X和Y的边缘分布函数。边缘分布解:(1)由分布函数的性质有,F(+∞,+∞)=1;F(x,-∞)=0;F(-∞,y)=0;22arctan0CxBA23arctan0ByCA2,2,12CBA5yxyxyxF，3arctan22arctan21),(2边缘分布(2)X的边缘分布函数FX(x)=F(x,+∞)3arctan22arctan21lim2yxy,2arctan21xx同理,Y的边缘分布函数FY(y)=F(+∞,y)3arctan22arctan21lim2yxx,3arctan21yy6二、已知联合分布律求边缘分布律)(jipp边缘分布设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{Xi=xi,Yj=yj}=pij(i,j=1,2,…)11)),2,1((),2,1(jiijijjpip则称二维随机变量(X,Y)X(Y)的边缘分布律.记为:既有:11)),2,1((),2,1(jiijjijijppipp7离散型随机变量的边缘分布函数其边缘分布函数记为:FX(x)和FY(y)，则有边缘分布设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为P{Xi=xi,Yj=yj}=pij(i,j=1,2,…)xxjijXipYxXPxF1,yyiijYjpyYXPyF1,利用几何图形进行解释8下表表示的边缘分布律也可以由以及YXYX1y2y…jy…ip1x11p12p…jp1…1p2x21p22p…jp2…2pix1ip2ip…ijp…ipjp1p2p…jp…边缘分布9例2：从1,2,3,4这四个数中随机取出一个，记为X，边缘分布再从1到X中随机地取出一个数，记为Y，试求(X,Y）的联合分布律与X和Y的边缘分布律.解:X和Y的可能取值是1,2,3,4;且X≥Y当ij时,pij=P{X=xi,Y=yj}=0;当i≥j时,pij=P{X=xi,Y=yj}由乘法公式有iXjYPiXPii4114110YX1234ip141000412818100413121121121041416116116116141jp48254813487483边缘分布再由11jiijjijipppp和得(X,Y)关于X与Y的边缘分布律11三、已知联合密度函数求边缘密度函数),,(yxfxdudyyuf，二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为求随机变量X的边缘密度函数为fX(x).边缘分布由FX(x)=P{X≤x}=F(x,+∞)dyyxfxfX，ydudxuxf，同理,由FY(y)=P{Y≤y}=F(+∞,y)dxyxfyfY，12例3:区域D是由抛物线y=x2及直线y=x所围，随机变量yoy=xy=x21D边缘分布(X,Y)服从区域D上的均匀分布。试求随机变量(X,Y)的联合密度函数和X,Y的边缘密度函数.解:区域D的面积xxdydxA2106131211032xx于是随机变量(X,Y)的联合密度函数DyxDyxyxf，，，06随机变量(X,Y)服从区域D上的均匀分布13yoy=xy=x21x边缘分布(2)随机变量X的边缘密度函数为当0x1时,DyxDyxyxf，，，06dyyxfxfX，26662xxdyxx.0,1062其它xxxxfX所以,14边缘分布同理,随机变量Y的边缘密度函数为当0y1时,DyxDyxyxf，，，06dxyxfyfY，yydxyy666.0,106其它yyyxfX所以,yo1yxxyx15例4设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为xyxy边缘分布.0,0,其它yxcxeyxfy试求:(1)常数c;(2)X与Y的边缘密度函数.解:(1)由密度函数的性质,得1),(dxdyyxf001yydxdycxe022cdyeycy所以,c=1.16xyxy(2)当x0时，边缘分布.0,0,其它yxxeyxfydyyxfxfX，xxyxedyxe所以，X的边缘密度函数为000xxxexfxX17xyxy(3)当y0时，边缘分布.0,0,其它yxxeyxfydxyxfyfY，yyyeydxxe2021所以，Y的边缘密度函数为002102yyeyxfyX18说明：设二维连续型随机变量(X,Y)服从参数为(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)的二维正态分布。可以证明：xfX21212121xeyeyfyY22222221x,~211NX，这表明，222NY，~边缘分布X与Y的边缘密度函数为19结论1:.),(~222NY结论2:边缘分布即:若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ),则有二维正态分布的边缘分布是一维正态分布.,),(~211NX上述两个边缘分布中的参数与二维正态分布的参数ρ无关.结论3:说明：边缘分布可由联合分布唯一确定，反之不然，即：不能由边缘分布确定联合分布。若(X1,Y1)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ1),(X2,Y2)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ2),(其中ρ1≠ρ2)则(X1,Y1)与(X2,Y2)不同分布,但X1与X2的分布相同,Y1与Y2的分布相同.