值域最值问题常见类型及解法

值域（最值）问题常见类型及解法函数的值域与最值是两个不同的概念，一般来说，求出了一个函数的最值，未必能确定该函数的值域；反之，一个函数的值域被确定，这个函数也未必有最大值或最小值。但是，在许多常见的函数中，函数的值域与最值的求法是相通的、类似的。关于求函数值域与最值的方法也是多种多样的，但是有许多方法是类似的，下面就这些方法逐一说明它们的运用。一、直接法：【理论阐释】利用常见函数的值域来求：一次函数y=ax+b(a0)的定义域为R，值域为R；反比例函数)0(kxky的定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}；当a0时，值域为{abacyy4)4(|2}。求下列函数的值域①y=3x+2(-1x1)②xxf42)(③1xxy奎屯王新敞新疆【解析】①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴函数y=3x+2的值域是[-1，5]。②∵),0[4x，∴),2[)(xf。即函数xxf42)(的值域是{y|y2}奎屯王新敞新疆③1111111xxxxxy，∵011x，∴1y即函数的值域是{y|yR且y1}（此法亦称分离常数法）奎屯王新敞新疆典例导悟二、配方法【理论阐释】利用二次函数的有关性质、图象作出分析，特别是求某一给定区间的最值与值域。此方法一般可解决形如y=a[f(x)]2+bf(x)+c(a≠0)的函数的值域与最值。典例导悟设函数41)(2xxxf，（1）若定义域为[0，3]，求)(xf的值域；（2）若定义域为]1,[aa时，)(xf的值域为]161,21[，求a的值.【解析】21)21()(2xxf，∴对称轴为21x，（1）2103x，∴)(xf的值域为)]3(),0([ff，即]447,41[；（2）,21)]([minxf对称轴]1,[21aax，212321121aaa，∵区间]1,[aa的中点为210ax，①当211,2121aa即时，16141)1()1(,161)1()]([2maxaaafxf，49(4302748162aaaa不适合，应舍去）；②当123,2121aa即时，161)()]([maxafxf，41(45051616,1614122aaaaaa41(45051616,1614122aaaaaa不适合，应舍去）；综上，4543aa或.三、反函数法：【理论阐释】对于形如(0)cxdyaaxb的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数（仅求x的表达式）的定义域从而得到原函数的值域。典例导悟求函数12xxy的值域。【解析】由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数。12xxy，反解得yyx2，即该函数的反函数为xxy2，xxy2的定义域为（-∞，2）U（2，+∞）.故函数12xxy的值域为：(,2)(2,)。【理论阐释】判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。四、判别式法（法）：典例导悟求函数66522xxxxy的值域。【解析】方法一：去分母得(y1)2x+(y+5)x6y6=0①当y1时，∵xR，∴=(y+5)2+4(y1)×6(y+1)0，由此得(5y+1)20，此时y可取任意实数.检验：当51y时，代入①求根，2)56(2551x又由x2+x-6≠0得函数66522xxxxy的定义域为｛x|x≠2且x≠-3｝.∵2{x|x2且x-3}，∴51y。再检验y=1代入①求得x=2，∴y1，综上所述，函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}。方法二：把已知函数化为函数(2)(3)361(2)(3)33+xxxyxxxx(x2)，由603+x可得y1，∵当x=2时51y，即51y，∴函数66522xxxxy的值域为{y|y1且y51}。说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法。判别式法一般用于分式函数，其分子或分母至少有一个为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论。五、换元法：【理论阐释】当题目的条件与结论看不出直接的联系（甚至相去甚远）时，为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（或几个）新的量来代替原来的量，掌握它的关键在于通过观察、联想、发现并构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。典例导悟求函数xxy41332的值域。【解析】由于题中含有x413不便于计算，但如果令xt413，注意0t，从而得：221313,3(0)42ttxytt，变形得22y(t1)8(t0)。即(,4]y。六、基本不等式法：【理论阐释】对形如（或可转化为）()bfxaxx，可利用22,22abababab求得最值。注意“一正、二定、三等”。典例导悟求函数225()4xfxx的值域。【解析】22222543()4444xfxxxxx2344x35422。当且仅当22444xx，即0x时，等号成立，所以5(),2fx。七、函数的单调性法：【理论阐释】在确定函数在指定区间上的最值时，一定要考虑函数在已知区间上的单调情况。设函数()fx是奇函数，对任意x、yR均有关系式()()()fxyfxfy，若x0时，()0fx且(1)2f。求()fx在3,3上的最大值和最小值。典例导悟【解析】先确定()fx在3,3上的单调性，设任意1x、23,3x且12xx，则210xx，212121()()()()()0fxfxfxfxfxx，即21()()fxfx。()fx在3,3上是减函数。因此()fx的最大值是(3)(3)(21)fff(1)(1)(1)6fff，()fx的最小值是(3)3(1)6ff.八、数形结合法：【理论阐释】适用于函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.典例导悟１、求函数2610186)(22xxxxxf的最小值。【解析】2610186)(22xxxxxf=2222)10()5()30()3(xx表示动点)0,(xP到定点)3,3(A，)1,5(B的距离之和，而A、B两点分别位于X轴的上下两侧，由此连接AB交X轴于一点，易证该点即是所求的P点。由题意及分析易得直线AB的方程为2321xy，令0y得3x即所求的P点为（3，0）。此时()fx的最小值是(3)45f。２、若复数z满足1|22|iz，则|z|max=，|z|min=。【解析】本题如果用单纯的代数方法求解，需设z=x+yi，代入条件，若用定义求解，比较繁琐，不易求得。但注意到1|22|iz的几何意义：复数z表示以点(2,2)为圆心，以1为半径的圆面（包括边界），如图。由图观察，易知|z|max=3,|z|min=1。答案：３１九、求导法：【理论阐释】求函数最值的步骤：在闭区间[a，b]上连续，在（a，b）内可导，f（x）在[a，b]上求最大值与最小值的步骤：①求f（x）在（a，b）内的极值；②将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系2000xt．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格）（1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额20.002yt（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？典例导悟【解析】（1）因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为2000wtst．由10001000stwstt，令0w，得201000tts．当0tt时，0w；当0tt时，0w，所以0tt时，w取得最大值．因此乙方取得最大年利润时的年产量0t为21000s（吨）；（2）设甲方净收入为v元，则20.002vstt．将21000ts代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式69410210vss．又63510(8000)svs，令0v，得20s．当20s时，0v；当20s时，0v，所以20s时，v取得最大值．因此甲方应向乙方要求赔付价格20s（元/吨）时，获得最大净收入。