正切函数图像及性质

1.4.3正切函数的性质与图象1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？然后再利用其周期性，把该段图象向左、右进行扩展，即得到整个定义域内的图象.通过平移正弦线得到正弦函数在的图象,再通过诱导公式和平移正弦函数的图象得到余弦函数的图象.0,2三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？(kkk2因为f(x)tan(x)tanxf(x),所以y=tanx是周期函数,最小正周期是π.探究点1正切函数的性质思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？由诱导公式知tan(x)tanx,xR,xk,k2正切函数是奇函数，图象关于原点对称.提示:思考4：观察图中的正切线，当角在内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？(,)22T1xyAT2O函数值先由-∞→0再由0→+∞；正切函数在内是增函数.22（-,）提示:思考5：结合正切函数的周期性，思考正切函数的单调性如何？正切函数在开区间内都是增函数(kkk2思考6：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？不是不会提示:提示:探究点2正切函数的图象类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数的图象，具体应如何操作？tan,(,)22yxx284838483xy作法:(1)等分(2)作正切线，平移(3)连线1oO作正切函数的图象：正切曲线O32正切曲线是由被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.x=k,k2Z[思考尝试·夯基]1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正切函数在整个定义域内是增函数．()(2)存在某个区间，使正切函数为减函数．()(3)正切函数图象相邻两个对称中心的距离为周期π.()(4)函数y＝tanx为奇函数，故对任意x∈R都有tan(－x)＝－tanx.()求下列函数的周期(1)y＝2tan(2x＋π3)；(2)y＝3tan(12x－π4)．【即时训练】【解题关键】利用周期函数的定义求解，或利用y＝Atan(ωx＋φ)(ω≠0)的周期为π|ω|求解．解析：(1)∵T＝π|ω|，ω＝2，∴T＝π2.∴y＝2tan(2x＋π3)的周期为π2.(2)∵T＝π|ω|，ω＝12，∴T＝2π.∴y＝3tan(12x－π4)的周期为2π.例1.求函数的定义域、单调区间.ytan(x)23解：函数的自变量x应满足xk,k,232即1x2k,k.3所以，函数的定义域是1x|x2k,k.3由kxk,k2232解得512kx2k,k.33因此，函数的单调递增区间是51(2k,2k),k.33掌握正切函数的性质是解决此类问题的关键求函数y＝tan3x－π3的定义域，并指出它的单调性．【变式练习】【解题关键】把3x－π3看作一个整体，借助于正切函数的定义域和单调区间来解决．解析：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－π3≠kπ＋π2(k∈Z)，得x≠kπ3＋5π18(k∈Z)，∴函数的定义域为xx≠kπ3＋5π18，k∈Z.令kπ－π23x－π3kπ＋π2(k∈Z)，即kπ3－π18xkπ3＋5π18(k∈Z)．∴函数的单调递增区间为kπ3－π18，kπ3＋5π18(k∈Z)，不存在单调递减区间．函数tan(sinx)的值域为________________．比较tan1，tan2，tan3的大小．【解题关键】可先把角化到一个单调区间中，再利用单调性比较大小．例2.【解析】∵tan2＝tan(2－π)，tan3＝tan(3－π)．又∵π2＜2＜π，∴－π2＜2－π＜0.∵π2＜3＜π，∴－π2＜3－π＜0，显然－π2＜2－π＜3－π＜1＜π2，且y＝tanx在－π2，π2内是增函数，∴tan(2－π)＜tan(3－π)＜tan1，因此tan2＜tan3＜tan1.【方法规律】运用正切函数的单调性比较大小的步骤：(1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内；(2)运用单调性比较大小关系．tan3.x解：方法一：利用正切线例3.解不等式yxTA3Oxk,k(k)32由图形可知：原不等式的解集为方法二：利用正切曲线x[k,k)(k)32由图形可知：原不等式的解集为Oyx323记住正切函数在一个周期内的图象(,)223tan(x).631tan0；x答案:（1）xkxk,k42；2xkxk,k.33解不等式（1）（2）（2）【变式练习】1、y＝tanx()A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数D．在每一个闭区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上为增函数C2．f(x)＝tan(x＋π)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数A3．函数y＝tanx－π4的定义域是()A．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}B.xx∈R，x≠kπ＋π2，k∈ZC.xx∈R，x≠2kπ＋π4，k∈ZD.xx∈R，x≠kπ＋3π4，k∈ZD4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanωx(ω是常数且ω0)相交，则相邻两交点间的距离是()A．πB.2πωC.πωD．与a的值有关C5.函数y＝3tanx－1的定义域是_______________．xx≠π2＋kπ，k∈Z正切函数图像性质1.定义域：x|xk,k.22.值域：R3.周期性：正切函数是周期函数，周期为.5.单调性：正切函数在开区间内都是增函数.(k,k),k224.奇偶性：正切函数是奇函数，图象关于原点对称.6.渐近线：直线x＝kπ＋π2(k∈Z)称为正切曲线的渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续的部分．正切曲线在渐近线右侧向下无限接近渐近线，在渐近线左侧向上无限接近渐近线．7.函数y＝Atan(ωx＋φ)＋k(ω≠0)的最小正周期T＝π|ω|.