正切函数的定义、图像与性质

1.7正切函数的定义、图像与性质主备人：侯佳佳如果角α满足：α∈R，α≠π/2+kπ（k∈Z），角α的终边与单位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？tanαyxP(a,b)MOA1我们把它叫做角α的正切函数，记作y=tanα.||||PMOMbaα在第象限时，tanα0α在第象限时，tanα0一、三二、四思考),2,(cossintanZkkR正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称它们为三角函数。yxPMOA（1,0）T角α的终边yxPMOA（1,0）T角α的终边过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M。MOPAOTtantan线段AT称为角α的正切线三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正弦线MPyxxO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT余弦线OM正切线AT问题1、如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数y=tanx的图象.]2,0[,sin1图象、用平移正弦线得xxy.2图象向左、右扩展得到、再利用周期性把该段类比3），（33tanAT0XY问题2、如何利用正切线画出函数，的图像？xytan22，x的终边角3作法:(1)等分：(2)作正切线(3)平移(4)连线把单位圆右半圆分成8等份。83488483，，，，，利用正切线画出函数，的图像:xytan22，x44288838320oxxxkxkxkxtancossin)cos()sin()tan(由正余弦的诱导公式得：ZkkxRx,2,正切函数的周期是kπ，π是它的最小正周期正切曲线是由通过点且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：在每一个开区间，内都是增函数。)2,2(kkZk正切函数图像奇函数，图象关于原点对称。R⑸单调性：Zk,2kx(6)渐近线方程：(7)对称中心kπ(,0)2渐进线性质:渐进线(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？问题：AB在每一个开区间，内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ问题讨论例比较下列每组数的大小。oo(1)tan167与tan17311πtan(-)413πtan(-)5（2）与例题分析000090167173180tanyx在，上是增函数，200tan167tan17311tan()tan,44132tan()tan5520,452tanyx又在0，是增函数22tantan451113tan()tan().45解:(1)(2)说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。例题分析解:,tan,4txyttRkZ设则的定义域为t且tk+2,42xk4xk,4xxRxkkZ因此，函数的定义域是且值域:Rtan()4yx求函数的定义域、值域和单调区间.例tan,,2ytkkkZ的单调增区间是-2224kxk344kxk3,,44kkkZ函数的单调增区间是小结：正切函数的图像和性质2、性质:xytan象向左、右扩展得到。再利用周期性把该段图的图象，移正切线得、正切曲线是先利用平)2,2(x,xtany1⑴定义域：}Zk,k2x|x{⑵值域：⑶周期性：⑷奇偶性：在每一个开区间内都是增函数。ππ(-+kπ,+kπ)22kZ奇函数，图象关于原点对称。R(6)单调性：Zk,2kx(7)渐近线方程：(5)对称性：对称中心：无对称轴