共线向量与共面向量,新

共线向量与共面向量1.平面向量共线的充要条件:若不共线,则平面内任一向量,ab2.平面向量基本定理:1212(,)pabR复习平面向量那么空间向量共线、共面的条件是什么?R)(λbλa)0b(ba‖acb定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)记作:a//b//c思考:对空间任意两个向量a与b,如果ab,那么a与b有什么关系?反过来呢?共线向量基本定理:对于空间任意两个向量a,b(0b),a//bR,ab.零向量与任意向量共线一、共线向量1.2.BCλABA、B、C三点共线例1已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，且，求的值.OPOAOBOABPal1,1OBt-1)OB(.PB,A,:得由又三点共线证明ttOAOPOBtOAOAtOAOPOAOBABABtOAOP与直线l平行的向量a叫做直线l的方向向量。二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量。OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。ObAPp2.共面向量定理（平面向量基本定理）:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,Pxayb,abpaABCp,ab,abp,ab,abp,ab,ab推论:空间四点P、A、B、C共面的充要条件是存在有序实数对(x,y)使或对空间任一点O,有1;ACyABxAP(2).OCzOByOAxOP只是向量的表示方法不相同共面向量定理中的与说明,yP:baxACyABxAP其中x+y+z=1同。对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，满足向量关系式（其中）的四点P、A、B、C是否共面？OPxOAyOBzOC1xyz空间四点P、A、B、C共面,,xyCPxCAyCB（）使得P88思考AP=mAB+nACAP=mAB+nAC将AP=OP-OA,AB=OB-OA,AC=OC-OA代入可得。存在唯一实数对例2如图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD在四条射线上分别取点E，F，G，H，并使求证：E、F、G、H四点共面；OEkOAOFkOBOGkOCOHkODHEFGDABCOkODOHOCOGOBOFOAOE分析：由已知有共面向量定理（平面向量基本定理）:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使p,ab,abPxayb类似于平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理：{a,b,c}叫做空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量。空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=xa+yb+zc.三、单位正交基底：设为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为单位正交基底。321,,eee在空间直角坐标系O—xyz中，对空间任一点P,对应一个向量OP，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使OP=xe1+ye2+ze3在单位正交基底中,与向量OP对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点P在此空间直角坐标系中的坐标，记作P(x,y,z)，其中x叫做点的横坐标，y叫做点P的纵坐标，z叫做点P的竖坐标.321,,eeeBANCOMQP例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点。用向量表示和。,,OAOBOCOPOQ112311111()()23236111366OQOMMQOAMNOAONOAOAOBOCOAOBOCOCOBOAMNOAMPOMOP3131613221练习：课本第98页第6，7，8题.,,,,,.成角的余弦值所与求四等分点的一个分别是中形在正方如图例11111111111117135DFBEDCBAFEDCBAABCD.,,,,.111111余弦值进而求出它们所成角的它们的数量积与模计算出的坐标表示我们可以通过此因所成的角与就是所成的角与分析DFBEDFBEDFBEABCD1D1C1B1A1F1EO1713.图ABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713.图则系基底建立空间直角坐标为单位正交分别以正方体的棱长为不妨设如图解,,,,,.OxyzDDDCDA111713,1,41,0,0,0,0,1,43,1,0,1,111FDEB,1,41,00,1,11,43,11BE所以,1,41,00,0,01,41,01DF,1,41,00,0,01,41,01DFABCD1D1C1B1A1F1EOxyz1713.图417||1DF417||1BE.16151141410011DFBE.17154174171615||||,cos111111DFBEDFBEDFBE所以.1715,11所成角的余弦值是与因此DFBE.,,,,.1111111118136DAEFBDBBFEDCBAABCD的中点求证分别是中方形在正如图例1813.图ABCD1D1C1B1AFEOxyz则角坐标系位正交基底建立空间直为单分别以设正方体的棱长为妨不图如证明,,,,1,181.31OxyzDDDCDA.21,21,21,1,21,21,21,1,1EFFE所以.1,0,1,0,0,0,1,0,111DADA所以又1813.图ABCD1D1C1B1AFEOxyz.01,0,121,21,211DAEF所以.,,11DAEFDAEF即因此求解问题的思路.运算坐标形式或字母形式的并用向量运算素,体会用向量表示相关元零向量与任意向量共线.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使ba//),0(,babba三、课堂小结：3.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.4.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,Pxayb,abP两个推论5、空间向量基本定理FEDCBA练习:如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F分别是BC,CD中点.化简下列各表达式,并标出化简结果的向量:(1);1(2)();21(3)().2ABBCCDABBDBCAFABAC321EFAFAD)()1(''CCBCABxACADyABxAAAE')2(在立方体AC1中,点E,F分别是面A’C’和面CD’的中心,求下列各式中的x,y.(3)'AFADxAByAAABCDDCBAEF(1)11(2)21(3)2xxyxy