数学高考导数难题导数零点问题导数最新整理2017

含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。（1）因式分解求零点例1讨论函数)(12)21(31)(23Raxxaaxxf的单调区间解析：即求)('xf的符号问题。由)2)(1(2)12()('2xaxxaaxxf可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再证明该函数的单调性而验证其唯一性。例4讨论函数axxaxeaxxfx23)1(2131)1()(，Ra，的极值情况解析：)1)(()1()()('2xeaxaxaxeaxxfxx，只能解出)('xf的一个零点为a,其它的零点就是01xex的根，不能解。例5（2011高考浙江理科）设函数Raxaxxf,ln)()(2（Ⅰ）若ex为)(xfy的极值点，求实数a（Ⅱ）求实数a的取值范围，使得对任意的],3,0(ex恒有24)(exf成立（注：e为自然对数），方法三：锁定区间，设而不求对于例5，也可以直接设函数来求，①当10x时，对于任意的实数a,恒有240)(exf成立②当ex31，由题意，首先有,4)3ln(3()3(22eeaeef）解得)3ln(23)3ln(23eeeaeee由'()()(2ln1)afxxaxx，但这时会发现0)('xf的解除了ax外还有xax1ln2=0的解，显然无法用特殊值猜出。令()2ln1ahxxx，注意到01)1(ah，0ln2)(aah，且23ln(3)(3)2ln(3)12ln(3)133eeeaheeeee=12(ln3)03ln(3)ee。故0)('xf在),1(a及（1，3e）至少还有一个零点，又()hx在（0，+∞）内单调递增，所以函数()hx在]3,1(e内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为0x，则ax01。从而，当0(0,)xx时，'()0fx；当0(,)xxa时，'()fxa；当(,)xa时，'()0fx，即()fx在0(0,)x内单调递增，在0,()xa内单调递减，在(,)a内单调递增。所以要使2()4fxe对(1,3xe恒成立，只要2200022()()ln4,(1)(3)(3)ln(3)4,(2)fxxaxefeeaee成立。000()2ln10ahxxx，知002lnaxx（3）将（3）代入（1）得232004ln4xxe，又01x，注意到函数23lnxx在[1,+∞)内单调递增，故01xe。再由（3）以及函数xxxln2在（1.++∞)内单调递增，可得13ae。由（2）解得，2233ln(3)ln(3)eeeaeee。所以233ln(3)eeaee综上，a的取值范围为233ln(3)eeaee。例6已知函数||ln)(bxxaxxf是奇函数，且图像在))(,(efe（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求ba,的值（2）若Zk，且1)(xxfk对任意1x恒成立，求k的最大值。例7（2009高考全国Ⅱ理科）设函数21fxxaInx有两个极值点12xx、，且12xx，（I）求a的取值范围，并讨论fx的单调性；（II）证明：21224Infx方法四：避开求值，等价替换。对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。避开方法：放缩不等式例8设函数21)(axxexfx（Ⅰ）若0a，求)(xf的单调区间（Ⅱ）若当,0)(,0xfx时求a的取值范围。与例8类似，下面的2010高考全国Ⅱ理科的最后一题，也是这样的处理方法。设函数1xfxe．（Ⅰ）证明：当x＞-1时，1xfxx；（Ⅱ）设当0x时，1xfxax，求a的取值范围．