数学高考第一轮复习 第四章 三角函数与三角形 第五节 简单的三角恒等变换

数学高考一轮总复习第四章三角函数与三角形第五节简单的三角恒等变换夯实基础稳固根基1．半角公式sinα2＝________，cosα2＝________，tanα2＝________，tanα2＝sinα1＋cosα＝1－cosαsinα.2．求值题常见类型(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和、差、倍、半角公式、和差化积、积化和差公式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．3．三角函数的最值问题(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2.②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．③y＝asinx＋bcsinx＋d或y＝acosx＋bccosx＋d可转化为只有分母含sinx(或cosx)的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次函数式．②y＝asinx＋cbsinx(a，b，c0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋cbt(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式或单调性求解．高考主要考查可化一角一函形式的和复合二次型．[答案]1.±1－cosα2±1＋cosα2±1－cosα1＋cosα考点自测把脉弱点1．(2013·新课标Ⅱ)已知sin2α＝23，则cos2(α＋π4)＝()A.16B.13C.12D.23[答案]A[解析]由半角公式可得，cos2(α＋π4)＝1＋cos2α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A.2．(2013·洛阳统考)函数f(x)＝2sin2(π4＋x)－3cos2x(π4≤x≤π2)的最大值为()A．2B．3C．2＋3D．2－3[答案]B[解析]依题意，f(x)＝1－cos2(π4＋x)－3cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin(2x－π3)＋1，当π4≤x≤π2时，π6≤2x－π3≤2π3，12≤sin(2x－π3)≤1，此时f(x)的最大值是3，选B.3．(2014·九龙坡区质检)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－69[答案]C[解析]本题主要考查三角函数的两角和、差公式的运用．∵0απ2，－π2β0，∴π4＋α∈(π4，3π4)，π4－β2∈(π4，π2)，∵cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，∴sin(π4＋α)＝223，sin(π4－β2)＝63，∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋cos(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝539.4．(文)(2013·山东潍坊模拟)已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．2[答案]A[解析]∵tanα＝2，∴sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.(理)(2013·呼和浩特第二次统考)若cosα＝45，α∈(0，π2)，则1＋tanα21－tanα2＝()A．－12B.12C．2D．－2[答案]C[解析]据已知得tanα＝sinαcosα＝3545＝34，由二倍角公式得tanα＝2tanα21－tan2α2＝34，且tanα20，解得tanα2＝13，故tanα2＋11－tanα2＝2.疑难误区点拨警示计算角的三角函数值时，一般要先考虑角的取值范围，使所计算的函数在该范围内单调，以避免讨论，注意发掘隐含的限制角的范围的条件，避免因对隐含条件的疏忽致误．(1)3－sin70°2－cos210°＝()A.12B.22C．2D.32三角函数的化简与求值(2)(文)已知πα2π，则cosα2等于()A．－1－cosα2B.1－cosα2C．－1＋cosα2D.1＋cosα2(理)一个凸平面四边形的四个内角成公比为2的等比数列，其中最小角为θ，且cosθ＝a2，则最大角的正弦值为()A．－1－a22B.1－a22C．－1＋a22D.1＋a22[答案](1)C(2)(文)C(理)A[分析](1)观察角可以发现70°与20°互余，20°是10°的二倍，故可用诱导公式和倍角公式(或降幂)化简．(2)(文)注意到角α与α2之间的二倍关系，可用cos2α＝2cos2α2－1解答，需考虑cosα2的符号．(理)由四个角成公比为2的等比数列及内角和定理可求角θ，再结合公式求最大角的正弦sin8θ.[解析](1)原式＝3－cos20°2－cos210°＝3－2cos210°－12－cos210°＝2.(2)(文)∵πα2π，∴π2α2π.∴cosα2＝－1＋cosα2.(理)依题设θ＋2θ＋4θ＋8θ＝360°.∴θ＝24°，8θ＝192°.∴cosθ＝cos24°＝a2.sin8θ＝sin192°＝sin(180°＋12°)＝－sin12°＝－1－cos24°2＝－1－a22，故选A.[方法规律总结]1.三角函数式的化简原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，采取相应的方法．依据“三看”确定“三变”：变角变名变结构．“变角”，对角的分拆尽可能化成同角、特殊角，待求角向已知角转化；“变名”，尽量减少名称种类，或方便应用公式；“变结构”，对式子变形尽可能有理化、整式化、降低次数、减少项数．注意和差倍角的相对性，注意升降次的灵活运用．2．三角函数化简的方法化简的方法主要有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．3．三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值；(2)尽量使三角函数种数最少；(3)尽量使项数最少，次数尽可能低；(4)尽量使分母不含三角函数；(5)尽量使被开方数不含三角函数．(1)计算tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α的值为()A．－2B．2C．－1D．1(2)已知：sinα＋cosα＝15，πα2π，则cosα2＝________.[答案](1)D(2)－31010[解析](1)tanπ4＋α·cos2α2cos2π4－α＝tanπ4＋α·cos2α2sin2π4＋α＝cos2α2cosπ4＋αsinπ4＋α＝cos2αsinπ2＋2α＝cos2αcos2α＝1.选D.(2)∵sinα＋cosα＝15，sin2α＋cos2α＝1，πα2π，∴sinα＝－35，cosα＝45，∴cosα2＝－1＋cosα2＝－31010.已知0απ2βπ，tanα2＝12，cos(β－α)＝210.(1)求sinα的值；(2)求β的值．三角函数的给值求值(角)问题[解析](1)tanα＝2tanα21－tan2α2＝43，所以sinαcosα＝43.又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝45.(2)因为0απ2βπ，所以0β－απ.因为cos(β－α)＝210，所以sin(β－α)＝7210.因为sinα＝45，所以cosα＝35.所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα＝7210×35＋210×45＝22.因为β∈(π2，π)，所以β＝3π4.[方法规律总结]1.已知三角函数值求角的步骤已知角α的三角函数值求角α，应注意所得的解不一定是唯一的，可能有无数多个，其解法步骤是：(1)确定角α所在的象限；(2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝对值对应的锐角α1；(3)求出满足条件的角．首先根据角α所在的象限，得出0～2π间的角．如果适合已知条件的角在第二象限，则它是π－α1；如果在第三或第四象限，则它是π＋α1，或2π－α1.然后利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集合．2．给出某三角函数(式)的值，求某角的一般解题步骤．(1)求角的某一个三角函数值(尽量选取在角的范围内单调的函数)；(2)确定角的范围(根据条件中角的范围、值的大小、正负确定，注意隐含条件发掘)；(3)根据角的范围写出所求的角．3．已知三角函数式的值，求其他三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子或所给条件；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)；(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．4．三角函数的给值求值问题，关键是把待求角(式)用已知角(式)表示成“和、差、倍”或“互余互补的关系；求角的某个三角函数值时，应注意结合已知条件选择恰当的函数，尽量选取在所给区间内单调的函数．(文)(2012·四川文，18)已知函数f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12.(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；(2)若f(α)＝3210，求sin2α的值．[分析](1)先运用降幂公式，再运用辅助角公式化为一个角的一个三角函数形式后，再讨论性质．(2)由f(α)＝3210得cos(α＋π4)＝35，注意到2(α＋π4)＝2α＋π2，把求sin2α转化为求cos(π2＋2α)．[解析](1)由已知，f(x)＝cos2x2－sinx2cosx2－12＝12(1＋cosx)－12sinx－12＝22cos(x＋π4)．∴f(x)的最小正周期为2π，值域为[－22，22]．(2)由(1)知，f(α)＝22cos(α＋π4)＝3210，所以cos(α＋π4)＝35.所以sin2α＝－cos(π2＋2α)＝－cos2(α＋π4)＝1－2cos2(α＋π4)＝1－1825＝725.(理)已知α、β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．[分析]由α＝(α－β)＋β结合已知条件可求得tanα，再由二倍角公式可得tan2α，进一步可求得tan(2α－β)，关键是讨论2α－β的范围，由tanβ的值可限定β的取值范围，由tanα，tan2α及tan(α－β)的值可限定α的取值范围，由此可得2α－β的取值范围．[解析]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.[点评]在解答三角函数的给值求值(角)问题时，一要注意角的变换；二要注意讨论角的范围；三要注意公式及函数名的选取．通过配凑变换沟通已知条件中和待求结论中的角的联系是首要任务.(文)求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.[分析]tan20°＝sin20°cos20°，全式通分后，第一项可用二倍角公式变形，后两项可用和角公式变形，然后再依据角的特点考虑下一步变形的方向，可以都统一到20°，40°＝60°－20°，10°＝30°－20°，也可以利用40°＝30°＋10°.给