数学高考题分类汇编不等式

1不等式一、选择题1.（2013·重庆高考理科·Ｔ3）(3)(6)(63)aaa的最大值为()A.9B.29C.3D.223【解题指南】直接利用基本不等式求解.【解析】选B.当6a或3a时,0)6)(3(aa，当36a时,29263)6)(3(aaaa,当且仅当,63aa即23a时取等号.2.（2013·山东高考理科·Ｔ12）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当xyz取得最大值时，212xyz的最大值为（）A.0B.1C.94D.3【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入212xyz，进而再利用基本不等式求出212xyz的最值.【解析】选B.由22340xxyyz，得2234zxxyy.所以2214343xyxyxyzxxyyyx11423xyyx，当且仅当4xyyx，即2xy时取等号此时22yz，1)(maxzxy.xyyyzyx2122212)211(2)11(2yyxy211122412yy.23.（2013·山东高考文科·Ｔ12）设正实数zyx,,满足04322zyxyx，则当zxy取得最大值时，2xyz的最大值为（）A.0B.98C.2D.94【解题指南】此题可先利用已知条件用x,y来表示z，再经过变形，转化为基本不等式的问题，取等号的条件可直接代入2xyz，进而再利用基本不等式求出2xyz的最值.【解析】选C.由22340xxyyz，得2234zxxyy.所以1342344322xyyxxyyxxyyxyxxyz，当且仅当4xyyx，即2xy时取等号此时22yz，所以222222242222222yyyyyyyyyzyx，当且仅当y=2-y时取等号.4.(2013·福建高考文科·T7)若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A．0,2B．2,0C．2,D．,2【解题指南】“一正二定三相等”,当题目出现正数,出现两变量,一般而言,这种题就是在考查基本不等式.【解析】选D.22xy≤2x+2y=1,所以2x+y≤14,即2x+y≤2-2,所以x+y≤-2.二、填空题5.（2013·四川高考文科·Ｔ13）已知函数()4(0,0)afxxxax在3x时取得最小值，则a____________。3【解题指南】本题考查的是基本不等式的等号成立的条件，在求解时需要找到等号成立的条件，将3x代入即可.【解析】由题()4(0,0)afxxxax，根据基本不等式44axax，当且仅当4axx时取等号，而由题知当3x时取得最小值，即36a.【答案】366.（2013·天津高考文科·Ｔ14）设a+b=2,b0,则1||2||aab的最小值为.【解题指南】将1||2||aab中的1由a+b代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a+b=2,b0，所以1||||||2||4||4||4||aabaabaababaab||214||4||4||abaaaaba，当且仅当||4||baab时等号成立，此时2a，或23a，若2a，则314||4aa，若23a，则51.4||4aa所以1||2||aab的最小值为3.4【答案】347.（2013·天津高考理科·Ｔ14）设a+b=2,b0,则当a=时,1||2||aab取得最小值.【解题指南】将1||2||aab中的1由a+b代换，再由均值不等式求解.【解析】因为a+b=2,b0，所以1||||||2||4||4||4||aabaabaababaab||214||4||4||abaaaaba，当且仅当||4||baab时等号成立，此时2a，或23a，若2a，则314||4aa，若23a，则51.4||4aa所以1||2||aab取最小值时，42a.【答案】-28.（2013·上海高考文科·T13）设常数a＞0.若1x92axa对一切正实数x成立，则a的取值范围为.【解析】考查均值不等式的应用，5116929)(,022aaaxaxxaxxfx时由题意知，当【答案】),51[9.（2013·陕西高考文科·Ｔ14）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).40mx40m【解题指南】设出矩形的高y，由题目已知列出x，y的关系式，整理后利用均值不等式解决应用问题.【解析】设矩形高为y,由三角形相似得:40,40,0,0,404040yxyxyx且40020,240取最大值时，矩形的面积仅当xysyxxyyx.【答案】20.5不等关系与不等式一、选择题1.（2013·北京高考文科·Ｔ2）设a,b,c∈R,且ab,则()A.acbcB.11abC.a2b2D.a3b3【解题指南】利用不等式的性质求解.【解析】选D.y=x3在(-∞,+∞)上为增函数,所以a3b3.2.(2013·浙江高考文科·T10)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:a∧b=a∨b=若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则()A.a∧b≥2,c∧d≤2B.a∧b≥2,c∨d≥2C.a∨b≥2,c∧d≤2D.a∨b≥2,c∨d≥2【解题指南】充分理解新定义的运算,根据它的运算性质求解.【解析】选C.因为a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b},又ab≥4,所以a,b中至少有一个大于等于2,所以a∨b≥2,排除A,B;因为c+d≤4,所以c,d中至少有一个小于等于2,所以c∧d≤2,故选C.二、填空题3.(2013·浙江高考文科·T16)设a,b∈R,若x≥0时恒有0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2,则ab=.【解题指南】由不等式恒成立可取特殊值得到a,b的关系,再由不等式恒成立求得ab.【解析】因为x≥0时,0≤x4-x3+ax+b≤(x2-1)2恒成立,所以当x=1时,0a，a≤b,b，ab,b,a≤b,a,ab.6≤a+b≤0成立,所以a+b=0,a=-b,当x=0时,0≤b≤1,所以-1≤a≤0,所以原不等式为0≤x4-x3+ax-a≤(x2-1)2,ax-a≤x3-2x2+1,所以a(x-1)≤(x2-x-1)(x-1),当x1时,a≤x2-x-1=21524x(x≥1)恒成立,得a≤-1;所以a=-1.当x1时,同理可得a=-1,所以ab=-a2=-1.【答案】-17一元二次不等式及其解法一、选择题1.（2013·重庆高考文科·Ｔ7）关于x的不等式22280xaxa（0a）的解集为12(,)xx，且2115xx，则a()A.52B.72C.154D.152【解题指南】直接求出不等式的解集,根据2115xx求出a的值.【解析】选A.由题意知,不等式22280xaxa（0a）的解集为)4,2(aa,因为2115xx,所以15)2(4aa,解得25a.2.（2013·江西高考文科·Ｔ6）下列选项中，使不等式x＜1x＜x2成立的x的取值范围是（）A.（，-1）B.（-1，0）C.（0，1）D.（1，）【解题指南】转化为不等式组，应注意x0与x0的区别.【解析】选A.当x0时不等式化为23x1x1，此时无解；当x0时不等式化为23x1x1，此时解得x1.3.（2013·安徽高考理科·Ｔ6）已知一元二次不等式()0fx的解集为1x|-12或xx，则(10)0xf的解集为（）A．{}|-1lg2xxx或B.{}|-1lg2xxC.{}|-lg2xxD.{}|-lg2xx【解题指南】根据一元二次不等式、指数函数、对数函数的图像与性质进行判断.【解析】选D。由()0fx的解集为1x|-12或xx，可得82111()=-(x-)(x+1)=-xx+222fx-，当(10)0xf时，有1102x，即1lglg22x=-。4.（2013·陕西高考理科·Ｔ9）在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位m)的取值范围是()A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解题指南】设出矩形的高y，由题目已知列出x，y的关系式，整理得x的一元二次不等式，解之可得x的取值范围.【解析】选C.设矩形高为y,由三角形相似得:x40y,x0,y0,x40,y40xy300,4040且，整理得2yx40,y40x30040x30001030.将代入xy，整理得x，解之得x5.（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ4）不等式222x的解集是（）A.-1,1B.-2,2C.-1,00,1D.-2,00,2【解题指南】利用绝对值不等式)0(||aax，则axa，去掉绝对值.【解析】选D.由2|2|2x得，2222x，即402x，所以不等式的解集为-2,00,2.二、填空题6.（2013·重庆高考文科·Ｔ15）设0，不等式28(8sin)cos20xx对xR恒成立，则a的取值范围40mx40m9为．【解题指南】因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零,直接求解即可.【解析】因为不等式28(8sin)cos20xx对xR恒成立，所以02cos32sin642,即0sin6432sin6422,解得21sin因为0,所以5[0,][,]66【答案】5[0,][,]667.（2013·上海高考文科·T1）不等式12xx＜0的解为.【解析】)21,0(0)12(xxx【答案】)21,0(8.（2013·广东高考理科·Ｔ9）不等式220xx的解集为.【解题指南】本题考查二次不等式的解法，注意应用口诀“小于取中间”.【解析】22(1)(2)0xxxx，解得21x，解集为{|21}xx.【答案】{|21}xx.10二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、选择题1.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a0,x,y满足约束条件133xxyyax若z=2x+y的最小值为1,则a=()A.14B.12C.1D.2【解题指南】结合线性约束条件,画出可行域,由目标函数取得最小值1,结合图形可求得a.【解析】选B.画出不等式组表示的平面区域如图所示:当目标函数z=2x+y表示的直线经过点A时,z取得最小值,而点A的坐标为(1,-2a),所以2-2a=1,解得a=1,2,故选B.2.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,xy满足约束条件10,10,3,xyxyx，则23zxy的最小值是（）A.7B.6C.5D.3【解题指南】结合线性约束条件，画出可行域，将目标函数平移得最小值.11【解析】选B.由z=2x-3y得3y=2x-z，即233zyx。作出可行域如图,平移直线233zyx，由图象可知当直线233zyx经过点B时，直线233zyx的截距最大，此时z取得最小值，由103xyx得34xy，即(3,4)B,代入直线z=2x-3y得32346z，选B.3.（2013·陕西高考文科·Ｔ7）若点(x,y)位于曲线y=|x|与y=2所围成的封闭区域,则2