2017年天津市大学生数学竞赛解析

2017天津市数学竞赛-理工类1.填空题2.选择题3.计算题填空题01,lim.sinsinbxaxxeeabbxax、简答：00limlim1.sinsincosbxaxxxxeeebxaxx.ab本题利用柯西中值定理，存在介于和之间的1填空题101102()[01]()2()().xfxfxdxdxfxfydy、设函数在，上连续，并设，则简答：交换积分次序111000()()()()yxIdxfxfydydyfxfydx100()()xIdxfxfydy换元有1110001{()()+()()}2xxIdxfxfydydxfxfydy则11001()()=2.2dxfxfydy2填空题33()(-)()()().xxfxgxftdtfx、设在区间，上连续，且对任意给定的，有为常值函数，则的表达式为简答：0'()3(3)()gxfxfx003()(0)xff令有，0(0)0f令有，()0()0.ffx再回带有，即()0fx填空题224()(1,1)1(0)lim.nnnnyfxxxxx、曲线，记其在点处的切线与轴交点为，，则简答：212222'()'(1)(1)nnnxfxfnx，则1ynxn切线方程为1lim1.nnnnxxn则，即1填空题222cos05()(0).01xxfxfxx，、，则，简答：0x当时，采用泰勒公式有24523222(1())224()1()12xxoxxfxoxx1().6fx则16.注：本题也可以直接计算，但比较复杂选择题0000(2)()1()lim2()().hfxhfxhfxxhfxx、函数在点的邻域内有定义，且，则在点简答：A、不连续0'()2Bfx、C、连续，但不可导D、无法确定可导与连续已知条件无法判断连续性，更无法判断可导性.D选择题2()(0)lim{()'()}1().xfxfxfx、设函数在区间，上有连续的导数，且满足，则简答：lim'()0xAfx、lim'()xBfx、不能确定lim()xCfx、无法判断D、以上都不正确()()'()lim()limlim1xxxxxxxxefxefxefxfxeelim'()0.xfx则A选择题22-113(1){}{}{}{}(2){}{-}0{}(3){}0{}0(4){}{}{}.().nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaabab、考虑关于数列的描述：对于数列，如果和都是收敛的，则一定收敛；数列，如果收敛于，则收敛数列的极限为和的极限为是等价的；数列收敛，数列有界，则数列是收敛的成立的结论有简答：0A、个1B、个2C、个3D、个22-1(1)11{}.nnnaaa错，例如若，，发散B+11(2).ln.ln(1)0.nnnanaan错设则(3).正确(4)1sin{}.nnnnabnab错，例如若，，发散选择题24()(2)(10)().yfxyexyx、已知函数，，则它在点，处取简答：1A、极小值-1B、极大值-C、不取极值1D、取极大值2(22)(2)yyyffexexyxexy，(10)解得驻点为，22222222(22)0(2)21yyyyyfffeexexyxexxy，，1.显然函数取得极小值-A选择题12tan5()0()().21xefxxfxxex、设函数，则是函数的简答：A、无穷间断点B、跳跃间断点C、可去间断点D、以上都不正确1002tanlim()lim()121xxxexfxxex1002tanlim()lim()121xxxexfxxex0lim()10.xfxx则，为可去间断点C计算题2221()6(0)(0)1().ffzfxyxyyxxfyyfxy、设函数，，，，，，，求函数，简答：22263()ffxxgyxx由知2(0)(0)3()()yfyxgygyyx，，，23fxyx则3()()fxyxxyhy从而，22(0)1()1fyyhyy由，知32()1.fxyxxyy即，计算题20172017011112{1(1)}1.2017232017xdxx、证明：简答：12017(1)2017xtxt令，则20170201720170111{1(1)}(1)(1)201720172017(1)xdxtdtxt2017112201600(1)(1)(1)tdttttdtt1111.232017计算题23()[]().().()DfxabDaxbfxaybdxdybafy、设为，上取正值连续函数，为，证明简答：利用二重积分的轮换性可知()()1()()()()()2()()DDDDfxfyfxfydxdydxdydxdydxdyfyfxfyfx21()()1()2().2()()2DDfxfydxdydxdybafyfx计算题4sin004()()01(0)0'(0)8lim().1tttxtfxyxffdxfxydye、函数，在，上连续，在处可导，且，，求极限简答：44sin0000011lim()lim()1tttytxttdxfxydydyfxydyte233000011()lim()lim44ttttfufxtdxduttt224300012()lim()lim416ttttftfudutt22200()2'()limlim1.816ttfttfttt计算题3[]5()[]()()0max().()().12baxabfxabfafbMMfxfxdxba，、设函数在，上有连续的二阶导数，且，求证：简答：()()()()()'()()bbbbaaaafxdxfxdxafxxafxxadx'()()'()()()bbaafxxadxfxxadxb'()()()()[()()'()]bbaafxxaxbxbfxxafxdx()[()()]()'()bbaaxbfxxadxxbfxdx()[()()]()()()bbbaaaxbfxxadxfxxbfxdx()()()()bbaaxaxbfxdxfxdx1()()()()2bbaafxdxxaxbfxdx则01()()()22uxabbaaMMxaxbdxuuabdx3().12Mba计算题计算题22222222206():11()0.lim1.DfxyDxyxyfxyffxyxydxdyDyxy、设函数，在上有连续的的偏导数，且在边界上满足，求极限，其中为为简答：cossinfffrxy选用极坐标系cossinfffffrrrxyrxyxy则计算题2222000limlimqDfffxyrxyrdxdydrdrxyr200lim[(cossin)(cossin)]ffd，，200lim(cossin)fd，2(00).f，计算题337()[0](0)22'()()(0)0()0.fxfxfxffx、设在区间，上连续，在，上可导，且在该区间上满足以及，求证简答：3()[0]()04fxfaa设在区间，上的最大值为，假设3()=()(0)='()()()()4fafafafafafafa()=0fa则33[]042则在，上最大值也为计算题3()[0]()002fxfbb设在区间，上的最小值为，假设3()=()(0)='()()(b)()2fbfbfbfbfbffa()0()=0fbfb若，则上述不等式不成立，则()0.fx综上所述，计算题22222228()231.CxydxyxdyIxyCxy、计算曲线积分，其中为正向曲线简答：22222222()()xyyxPQxyxy设，PQyx通过计算可知即积分与积分路径无关cossinlxy取为，的正向曲线，其中充分小，利用格林公式有22222222222241()()CllxydxyxdyxydxyxdyIxydxyxdyxyxy2422401(cossinsinsincoscos)d20cossin0.d计算题2222()22219()10,().xyzxyzefxyzxyzxyztIfxyzdS，、设函数，，，，为曲面计算，，简答：21()22211xyzIedSxyz，其中为切球面所得的曲面2221103txyzdI若与球无交点，即时，13td当时计算题221()D=3xyxyztIedSedxdy2221:xyxyzDzxyzt，消去有2222()()32:112(1)(1)2333xytytyxDttxyD的面积为2(1)33tA22223(1)(1).333ttttIee则计算题1122100123.{}.1nnnaanaa、，，，，，讨论的收敛性简答：11021111.nnnnnaaaaa显然，且当时，，当时，22()01fxxx设函数，，224'()0(1)xfxx则1()nnafa计算题()(())()'(())'()0FxffxFxffxfx显然对函数有2()(())()nnFxffxafa则为单调增函数，且221nnaa这样数列，都是收敛数列221nnaaab设，的极限分别是，222211abba则，，()(1)0abab则212abaabab若，则11ab解得，232abaabaa若，则11ab解得，{}1.na综上可知数列收敛到