第八讲 正弦稳态电路分析(1)

电路分析第八讲正弦稳态电路分析（1）第七章正弦稳态电路分析7.1引言7.2正弦信号的基本参数7.3正弦信号的相量表示法7.4电阻、电容、电感元件的复数模型7.5阻抗和导纳7.6相量形式的基尔霍夫定律1引言正弦电路：激励电源可用正弦函数描述的电路，或称正弦交流电路。我国电力系统即为50Hz正弦供电系统，家用设备供电50Hz/220V标准。（美国：60Hz/110V标准）将正弦交流电路分析变为处理复数代数方程；结合电阻电路基本电路定律和原理、分析方法等进行分析本章重点：正弦信号的相量表示法正弦电路的相量分析法2正弦信号的基本特征参数(/)tradsT2mU20()ts48T3438TT正弦信号的周期（秒s）Um正弦信号的幅度，取值为正值Ф初相角ω(=2*pi/T)角频率，弧度/秒（rad/s)cos()3cos()43cos(2)423cos()8cos()4mmmmmUtUtUftTUtTUt正弦信号的基本特征参数正弦电压信号：Um，ω（或f,或T）和为正弦信号的三角特征：正弦信号的初相角，表示正弦信号沿时间轴平移的相位角。值为正，函数左移；反之右移ωt和应该有相同的单位（弧度或度）（度）=（弧度）对于正弦电流信号可表示为：()cos()mutUt()cos()mitIt180例1：若交流电压幅度为310V，电源频率50Hz，初相角为30°，求电压信号表达式，并计算t=0时电压值。1005022f(0)cos(45)omuU()cos()mutUt310cos(1006)tVuo268866.031030cos310)0(例2：若交流电源频率为50Hz，初相角为－45°，t=0时电压值为220V，求电压表达式。解：(0)/cos(45)220/0.707311omUuV()cos()311cos(2504)mutUtt解：正弦信号的峰值，平均值及有效值峰值：Fm正弦信号的振幅或最大值的正弦信号波形常在峰值单位下面加p。如310Vp表示310伏是峰值电压。620Vpp表示峰峰值，即信号最低点到最高点之间的值为620伏2TmF0t2T0tAT02TT()ft2.平均值:Fav周期性信号的平均值是指一个周期内的平均值，即：T为信号周期，t1是计算起始点TttdttfTFav11)(10220122TTAFavtdtTTAtAT0012cos()2sin()02TTFavFmtdtTTFmTtTT周期性信号的平均值是指一个周期内的平均值，即：T为信号周期，t1是计算起始点标准正弦信号正、负半周完全对称，均值为零。整流电路中，主要考虑正半周的平均值。2.平均值:Fav2TmF0t2TTttdttfTFav11)(1例：已知正弦交流电流的幅度Im=5A，求其半波整流后电流的平均值Iav。解：设电流周期为T，则电流表达式为：半波整流后则，周期信号的均值，在信号分析中称为直流分量。)2cos()(tTItimAIdttTITImTTmav18.32)2cos(2442cos()()440mTTItnTtnTitT其它在相同时间内，交流电流i(t)与稳定直流电流通过相同阻值的电阻所产生热量相等，则称I为i(t)的有效值。可表示为：有效值的定义为有效值是一个正数，在数学上称周期函数f(t)的有效值为瞬时式的均方根值，即TRdttiRTI022)(TdttiTI02)(1TsmrdttfTF02..)(13.有效值Fr.m.s（或F）例：分别求如图所示信号的有效值。解：正弦信号的有效值是最大值的0.707倍。交流仪表中所标数值均为有效值。日常使用的50Hz交流电压有效值是220V。其峰值电压Vm＝311V。tAT02TT()ft2101()3TAAFtdtTT222012cos()0.7072TmmmFFFtdtFTT2TmF0t2T用余弦函数表示的正弦信号可看成是一个在XY平面上以原点为中心、以ω为角频率旋转的向量，在X轴上投影用正弦函数表示的信号，是旋转向量在Y轴上的投影3正弦信号的相量表示法t32112032122sincos(90)mmAtAt设旋转向向量的幅度为Am，则位置1可表示位置2可表示位置3可表示3正弦信号的相量表示法t32112032122tAmcos)cos(1tAm)90cos(2tAm]Re[]Re[)cos()(tjtjeUUetUu正弦信号的相量表示法UU极坐标形式)sin(cosjUU正交形式jUeU指数形式余弦表示式可写：欧拉同一性法则，相量有三种等效表达式：相量是有向线段或称自由矢量积和商的运算积商利用正交形式可进行相量的加（减）运算两个相量相加减，其和及差为实部与虚部分别相加减1212()1212()()jjjUeUeUUe1122()1122()()jjjUeUeUeU相量的四则运算11221212()()()UUUU11112222()()()UUUU两相量的乘(除)结果为模值相乘(除),相角相加(减)。例：已知求。解：两个相量相加减，其和及差为实部与虚部分别相加减,57.264.22,13.1430.5021UU2121,UUUU56.11623.257.264.2213.1430.5021UU57.1167.44)4020()100.20()3040(21jjjUU振幅相量（）和有效值向量（）或：用信号振幅值或有效值表示向量长度例：已知正弦电压、电流表达式，求振幅相量及有效值相量解：振幅相量mU121210cos(30),22cos(120)125sin(60),3cos(50)itmAitAutVutVmAIm30101AIm1202221125sin(60)125cos(6090)uttVmUUU1125150mUV23503(18050)3130mUV振幅相量（）和有效值向量（）或：用信号振幅值或有效值表示向量长度例：已知正弦电压、电流表达式，求振幅相量及有效值相量解：振幅相量有效值相量mU121210cos(30),22cos(120)125sin(60),3cos(50)itmAitAutVutV110307.07302ImAmUUU22120IA112515088.41502UV231302.121302UV与的关系为：若：在关联参考方向下，若和同频率，则4电阻，电容，电感的复数模型RiRiRuRRRiu]Re[)cos(tjRmiRmReItIiRe[]Re[]cos()Re[]ijjtjtRRmRmjtRmiRmuRIeRIeeRItUeRu1.电阻元件RmRmIRURRRiRmIRmURu与的关系为：若：若和为同频率正弦变量，比超前90°，则CiCudtduCiCC]Re[)cos(tjCmuCmCeUtUu{Re[]}jtCCCmdudiCCUedtdtcu11901190CmCmCCUIjCCUIjCC2.电容元件()b()aCmICmUCCiCCuCiCicuCmCmCmCmICUIjCURe[]jtCmCjUecos(90)CmuCUtcos()Re[]jtCmiCmItIe电容元件的复数欧姆定律电容的复数模型为，相量形式为为复数电容抗，记作，为容抗，与ω成反比关系，相当于直流信号，容抗，容抗11901190CmCmCCUIjCCUIjCCCj1901CCj1CjX00cXCXC1cX与的关系为：若：则电感元件的复数模型为，称为复数电感抗，记为3.电感元件dtdiLuLL]Re[)cos(tjLmiLmLeItIi{]}Re[]cos(90)cos()Re[]jtjtLLmLmLmijtLmuLmduLIejLIedtLItUtUe()aLmILmULiLuLLLuLiLmLmUjLI9090LmLmLLUjLLIUjLLILj电感元件的复数欧姆定律LjX称为感抗，大小与ω成正比关系，电感等效为短路；，电感等效为开路LXL0例：已知交流电压，将该电压分别作用于，和上，求各自电流相量，并画相量图。解：交流电压相量为向量图为：)100cos(10)(ttu100RFC200HL4.0LmCmRmIII,,010mU)(1.0100010ARUImRm)(902.0AUCjImCm1000.2590()1000.490mLmUIAjL0RmILmI0900900.2A0.1A0.25ACmI5阻抗和导纳正弦电压或电流加到无源RLC电路中产生正弦响应电压和电流分别为：)(tU)(ti..RLC时间域电路UUeUtUtutj],Re[)cos()(IIeItItitj],Re[)cos()(UICjLjRZ1,,频率域电路阻抗和导纳阻抗Z：相量电压和相量电流之比导纳Y：阻抗的倒数阻抗和导纳的正交形式为)(IUZ）或（sUIZY)(11()()()()LCLCZRjXZRjXYGjBYGjB感抗或容抗感纳或容纳22222222,,GBRXGBGBRXGBRXRX1YZ404520.03017.3210.02.015UZjI例：网络加载的电压时产生的电流，求等效阻抗和导纳，画出频域串联等效电路和并联等效电路。IULjXR17.3210.0j串联等效电路解：并联等效电路0.0433sGU--0.025SLjBV4540AI150.2210.0530(4.332.50)10YjsZsBsGXRLL22105.2,1033.4,0.10,32.17例：已知RL串联电路，求时并联等效电路中等效并联电阻和并联电感值。HLR1.0,10srad/100解：101.0100,10LXRLHBLXRXBGRXRRGLLLLL2.011,201101010201,20110101022222222并并阻抗的组合正弦网络：电阻网络：两个阻抗的并联阻抗为：阻抗图：Z是一个复数，可在复平面表示出来，称为阻抗图感抗（第一象限）；容抗21ZZ0,jX1Z122Z,R1212111eqeqZZZZZZ串联阻抗并联阻抗2121ZZZZZeqUIZuiR1Z2Z导纳的组合由阻抗组合公式串联（或并联）电路宜用于阻抗（或导纳）处理导纳图阻抗和导纳图均随变化！21YY1YsG,2Y120sjB,1212111eqeqYYY