2012高中数学 第二章2.3.1等比数列的概念精品课件 苏教版必修5

2.3等比数列2.3.1等比数列的概念•课标要求：理解等比数列的概念．•重点难点：本节重点：等比数列的定义和等比中项.•本节难点：对等比数列定义的理解和应用．课标定位基础知识梳理1．等比数列的有关概念定义：一般地，如果一个数列从_______起，每一项与它的_______的___都等于_______常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_____，公比通常用字母__表示．说明：(1)注意定义中“从第2项起”这一条件的双层含义．第2项前一项比同一个公比q其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的比”相吻合；其二，等比数列的定义包括了首项这一基本量，且必须从第2项起使数列中各项均与其前面一项作商．(2)注意定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求，它的含义也有两个．其一，强调作商的顺序,即后面的项比前面的项；其二，强调这两项必须相邻.•(3)注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等比数列．•注意：等差数列的项an与公差d可以是任意实数，而等比数列的项an与公比q都是非零实数．•2．等比中项•定义：如果a，G，b这三个数成_________，则G叫做a和b的等比中项．等比数列说明：(1)a，G，b成等比数列⇔G是a和b的等比中项⇔Ga＝bG⇔G2＝abab0⇔G＝±ab，ab0.(2)等比数列从第2项起(有穷数列的末项除外)，每一项是它前一项与后一项的等比中项，因此一个等比数列至少有三项．(3)a和b存在等比中项⇔ab0；a和b不存在等比中项⇔ab≤0.(4)等比中项有两个，它们互为相反数，即ab和－ab.课堂互动讲练题型一等比数列的概念对等比数列定义的理解要注意：1．等比数列中：(1)当公比q＝1时该数列既是等比数列也是等差数列；(2)“a1≠0”是数列{an}成等比数列的必要非充分条件；2．等比数列的定义强调了“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在，至于公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质；3．定义的数学语言：数学定义一般都是用文字语言叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，由等比数列的定义有：{an}是等比数列⇔an＋1an＝q(n∈N*，q为常数)．例1试判断下列数列是否为等比数列：①an＝(－1)n－1(3)n，n∈N*②an＝(－2)n－3，n∈N*③an＝n×2n，n∈N*④an＝－1，n∈N*【分析】利用等比数列的定义判断．【解】①由题意得an＋1＝(－1)n(3)n＋1，则an＋1an＝－1n3n＋1－1n－13n＝－3，由n的任意性知，这个数列是等比数列．②由题意得an＋1＝(－2)n－2，则an＋1an＝－2n－2－2n－3＝－2，由n的任意性知，这个数列是等比数列．③由题意得an＋1＝(n＋1)×2n＋1，则an＋1an＝2n＋1n＝2＋2n，这个比值随n的取值不同而不同，即它不恒为同一常数，所以这个数列不是等比数列．④由题意得an＋1＝an＝－1，则an＋1an＝1，由n的任意性可知这个数列是等比数列．【点评】等比数列的公比是一个与n无关的常数，它可以是正数，也可以是负数，但不能为零．变式训练1．命题1：“公差为0的等差数列是等比数列”；命题2：“公比为12的等比数列一定是递减数列”；命题3：“a、b、c三数成等比数列的充要条件是b2＝ac”．以上三个命题中，正确的有________个．解析：三个命题都是假命题．命题1中，未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列；命题2中，可知an＋1＝an×12，但an＋1＜an未必成立，当首项a1＜0时，an＜0，则12an＞an，即an＋1＞an，此时该数列为递增数列；命题3中，若a＝b＝0，c∈R，此时有b2＝ac，但数列a，b，c不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b＝ac，则成为既不必要也不充分条件．答案：0题型二等比中项理解等比中项时应注意：1．如果G是a和b的等比中项，那么Ga＝bG，即G2＝ab；2．两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项即G＝±ab.在等比数列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8.【分析】由所给的项的下标与所求项的下标，可知这三项的关系．【解】∵a5是a2与a8的等比中项，∴542＝a8×(－2),∴a8＝－1458.【点评】平常经常用到的结论，首先应该保证我们所记忆的结论的严密性和正确性，这是做快做对题目的前提．例2变式训练2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0＜logm(ab)＜1，求m的取值范围．解：由a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列得，2b＝a＋(a＋b)，b2＝a·ab，解得a＝2，b＝4，由0＜logm8＜1，解得m＞8，即m的取值范围为(8，＋∞)．题型三等比数列中的基本运算•合理设未知量，可以简化运算．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．【分析】由题目可获取以下主要信息：四个数分段成两种数列．解答本题可先按性质设其一种再推得其余.例3【解】法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋d2a，由条件得a－d＋a＋d2a＝16a＋a＋d＝12，解得a＝4d＝4或a＝9d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.法二：设四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16aq＋a＝12，解得a＝8q＝2或a＝3q＝13.当a＝8，q＝2时，所求四个数为0,4,8,16；当a＝3，q＝13时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.【点评】合理地设出所求数中的三个，根据题意得出第四个是解决这类问题的关键．一般地，三个数成等比数列，可设为aq，a，aq；三个数成等差数列，可设为a－d，a，a＋d.互动探究3．若例3中条件改为：已知四个数，前3个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两个数之积为16，前后两数之积为－128，则如何求这四个数？解：依题意设后三个数为aq，a，aq，又∵前三个数成等差数列，∴第一个数为2aq－a，则由已知得：aq·a＝16，①2aq－a·aq＝－128，②由①得a2＝16q，③由②得a2(2q－1)·q＝－128.④将③代入④得：q2－2q－8＝0，∴q＝4或q＝－2.又a2＝16q，∴q＞0，∴q＝4，∴a＝±8.当a＝8时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.当a＝－8时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.故所求四个数分别为：－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.规律方法总结1．判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法an＋1an＝q(q为常数且不为零)⇔{an}为等比数列．(2)等比中项法a2n＋1＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列．(3)通项公式法(此法将在下一节学到)an＝a1qn－1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列．2．若三个数成等比数列，可设它们为aq，a，aq；四个数成等比数列，可设它们分别为aq3，aq，aq，aq3.