__二项式定理复习课ppt

复习课----二项式定理及应用要点梳理1.二项式定理2.通项公式§1.3.2二项式定理011()nnnrnrrnnnnnnabCaCabCabCb1,(0,1,2,)rnrrrnTCabrn3.二项式系数的性质（1）对称性：（2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值.当n是奇数时，中间两项同时取得最大值，分别是和。（3）二项式系数的和=2n.其中=.CCmnnmn21Cnn21Cnn2CnnnnrnnnnCCCCC210531CCCnnn20CCnn4Cn=12n=•高考二项式定理的三种题型:•《二项式定理》是高考主要内容之一。高考要求是：掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。它在高考中总是以选择和填空的形式出现，分值为5分。出现的题型主要有三类：•1、求二项展开式中指定项，如常数项、有理项、整式项、系数最大的项等。•2、求某二项式系数。•3、求系数和.解（1）通项公式为Tr+1=，∵第6项为常数项，∴r=5时，有=0，即n=10.nxx)21(3333)21(Crrrnrnxx32)21(Crnrrnx32rn一、解答题1.已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求n；（2）求含x2项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.（2）令=2,得r=(n-6)=2,∴所求的系数为∈Z,0≤r≤10,r∈Z,令=k(k∈Z),则10-2r=3k，即r=5-k.∵r∈Z，∴k应为偶数.∴k可取2,0,-2，即r可取2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为（3）根据通项公式，由题意得2332rn21.445)21(C22103210r3210r.)21(C,)21(C,)21(C28810551022210xx题型一求展开式中的特定项或特定项的系数【例1】在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项.利用已知条件前三项的系数成等差数列求出n,再用通项公式求有理项.解∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，n（n-1），∴2·=1+n（n-1），解得n=8或n=1（不合题意，舍去），思维启迪2n812n81nxx)21(4当4-k∈Z时，Tk+1为有理项，∵0≤k≤8且k∈Z,∴k=0，4，8符合要求.故有理项有3项，分别是T1=x4，T5=x，T9=x-2.∵n=8，∴展开式中共9项，中间一项即第5项的二项式系数最大且为T5=x.求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数k+1，代回通项公式即可.438352561835探究提高,2C)21(C434842881kkkkkkkxxxT解析因为(1+x)6的通项是Tr+1=xr,令r=5得T6=x5;令r=2得T3=x2,所以（1-x3）(1+x)6展开式中x5的系数为-=-9.-9r6C56C26C56C26C.在（1-x3）(1+x)6的展开式中，x5的系数为.题型二求展开式中各项系数之和【例1】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解:令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1①令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37②(1)∵a0==1,∴a1+a2+a3+…+a7=-2.(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1093.(4)∵(1-2x)7展开式中,a0,a2,a4,a6都大于零,而a1,a3,a5,a7都小于零,∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7),=1093-（-1094）=218707C23172317探究提高本题采用的是“赋值法”，它普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，在解有关问题时，经常要用到这种方法.对形如（ax+b）n、（ax2+bx+c）m（a，b，c∈R,m,n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对（ax+by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.一般地，若f（x）=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f（1），奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=2)1()1(ff.2)1()1(ff知能迁移2设（2-x）100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求:(1)a0;(2)a1+a3+a5+…+a99;(3)(a0+a2+a4+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a100|.解:（1）方法一:由（2-x）100展开式中的常数项为·2100，得a0=2100.方法二:令x=0，则展开式可化为a0=2100.（2）令x=1,得a0+a1+a2+…+a99+a100=(2-)100①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a100=(2+)100②330100C33联立①②得a1+a3+…+a99=(3)原式=［（a0+a2+…+a100）+（a1+a3+…+a99）］·［（a0+a2+…+a100）-（a1+a3+…+a99）］=（a0+a1+a2+…+a100）(a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100)=(2-)100(2+)100=1.(4)∵展开式中，a0,a2,a4,…,a100大于零，而a1,a3,…,a99小于零，∴原式=a0-a1+a2-a3+…+a98-a99+a100=(2+)100.2)32()32(100100333知能迁移1已知的展开式的二项式系数和比（3x-1）n的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项.解由题意知，22n-2n=992,即(2n-32)(2n+31)=0,∴2n=32,解得n=5.（1）由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，即=252.nxx223)(nxx2)12(10)12(xx510C.80462C)1()2(C5510555106xxT（2）设第r+1项的系数的绝对值最大，∵r∈Z，∴r=3.故系数的绝对值最大的是第4项，T4=-·27·x4=-15360x4.310C110110101011011010102101010101012C2C2C2C,2C)1()1()2(CrrrrrrrrrrrrrrrrxxxT,10)1(2211,CC2C2C1101011010rrrrrrrr即得,31138r解得方法与技巧1.通项公式最常用，是解题的基础.2.对三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为集项、配方、因式分解，集项时要注意结合的合理性和简捷性.3.求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性.思想方法感悟提高4.性质1是组合数公式的再现，性质2是从函数的角度研究的二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和.5.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.6.二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个分析，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用.rnnrnCC失误与防范1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.3.通项公式是第r+1项而不是第r项.一、选择题1.（2009·重庆理，3）(x2+)8的展开式中x4的系数是（）A.16B.70C.560D.1120解析设二项式展开式的第r+1项含有x4,则Tr+1=(x2)8-r（）r.∴16-2r-r=4,∴r=4.∴x4的系数为·24=1120.Dx2x2r8C48C定时检测基础自测1.二项式（a+2b）n展开式中的第二项的系数是8，则它的第三项的二项式系数为（）A.24B.18C.16D.6解析T2=所以2n=8，n=4,所以==6.D,2C)2(C11111babannnn2Cn24C2.在的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A.3项B.4项C.5项D.6项解析Tr+1=故当r=0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项.C243)1(xx,C)1()(C65122432424rrrrrxxx3.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是（）A.-7B.7C.-28D.28解析只有第5项的二项式系数最大，则展开式共9项，即n=8，当r=6时为常数项，T7=7.Bnxx)12(3,x)21()1(C)x1()2x(CTr348r8rr8r3r8r81r解析∵Tk+1=为常数项,∴k=4且（-a）4=1120，∴a4=16，∴a=±2,当a=2时，令x=1,得各项系数和为(1-)8=1；当a=-2时，令x=1，得各项系数和为(1+)8=38.答案Ckkkkkk28888)(C)(Cxaxax48C12125.已知展开式中常数项为1120，其中实数a为常数，则展开式中各项系数的和为（）A.28B.38C.1或38D.1或288)(xax二、填空题7.已知n为正偶数，且（x2-）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是.（用数字作答）解析n为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n=6，第4项系数为x2125.25)21(C3369.（2009·全国Ⅰ理，13）（x-y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于.解析(x-y)10的展开式中含x7y3的项为x10-3y3(-1)3=-x7y3,含x3y7的项为x10-7y7(-1)7=由=120知，x7y3与x3y7的系数之和为-240.-240310C310C710C.C73710yx710310CC4.在的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是（）A.3B.4C.5D.6解析通项Tr+1=常数项是15，则2n=3r,且=15，验证n=6时，r=4合题意.DrnC,C)1()1()(C322rnrnrrrnrnxxxnxx)1(22.（2009·浙江理，4）在二项式的展开式中，含x4的项的系数是（）A.-10B.10C.-5D.5解析∵的展开式的通项为令10-3r=4,得r=2,∴x4项的系数为=10.B52)1(xx52)1(xx25C.C)1()1(C3105)5(25rrrrrrrxxx1001001）（78r100r10099110010001007C7C7C100100199100C7C余数是1，所以是星期六）（99100990100C7C7练习1、今天是星期五，那么天后的这一天是星期几？1008110003天后是星期几？那么作业：1.课本P35-36习题10，2.课课练第12，13课时