31回归分析的基本思想及其初步应用(一)

2020/1/31郑平正制作3.1回归分析的基本思想及其初步应用（一）高二数学选修2-3城阳一中毛世勤（一）回顾：数学３——线性回归分析的步骤:温故知新1、画散点图4、用回归直线方程进行预报3、求回归直线方程ˆˆˆybxa2、求ˆˆ,bann(x-x)(y-y)xy-nxyiiiii=1i=1ˆb==,nn222(x-x)x-nxiii=1i=1ˆˆa=y-bx.nn11x=x,y=y.iinni=1i=1其中（二）最小二乘估计公式：ˆˆˆybxa(,)xy称为样本点的中心。（三）描述两个变量之间线性相关关系的强弱的相关系数[0.751],[1,0.75],[025,0.25],rrr当，表明两个变量正相关很强；当表明两个变量负相关很强；当.表明两个变量相关性较弱。122122211121()()(())())(niiinniiiiniiinniiiixynxxyxyxnxynyyxxyyr课前检测：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料。使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程的回归系数；（２）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ˆˆˆybxaˆˆab、ˆˆ1.23,0.08.baˆ1.230.08.yx使用年限为10年时，维修费用是:12.38万元2008年5月，中共中央国务院关于加强青少年体育、增强青少年体质的意见指出城市超重和肥胖青少年的比例明显增加.“身高标准体重”该指标对于学生形成正确的身体形态观具有非常直观的教育作用.“身高标准体重”从何而来？我们怎样去研究?创设情境：例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。问题呈现：女大学生的身高与体重ˆ0.84985.712yx解；1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．ˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)3.回归方程：2.散点图；4.本例中,r=0.7980.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。81iiixy821iixxy72315218774165.2554.5探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg。例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359女大学生的身高与体重ˆ0.84985.712yx解；1.由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量x，体重为因变量y．ˆ学身高172cm女大生体重y=0.849×172-85.712=60.316(kg)3.回归方程：2.散点图；4.本例中,r=0.7980.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的。81iiixy821iixxy72315218774165.2554.5ˆ0.84985.712yx例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359女大学生的身高与体重ˆˆˆybxaybxa我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差越小，通过回归直线(5)预报真实值y的精度越高。2ybxa例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359女大学生的身高与体重ˆˆˆybxaybxa我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差越小，通过回归直线(5)预报真实值y的精度越高。2ybxa随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差。ˆy另一方面，由于公式(1)和(2)中和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因。ˆyˆaˆb假设1:身高和随机误差的不同不会对体重产生任何影响，54.554.554.554.554.554.554.554.5体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号54.5kg怎样研究随即误差？5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号例如，编号为6的女大学生的体重并没有落在水平直线上，她的体重为61kg。解释变量（身高）和随机误差共同把这名学生的体重从54.5kg“推”到了61kg，相差6.5kg，所以6.5kg是解释变量和随机误差的组合效应。用这种方法可以对所有预报变量计算组合效应。数学上，把每个效应（观测值减去总的平均值）的平方加起来，即用21()niiyy表示总的效应，称为总偏差平方和。5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号假设2:随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上。怎样研究随即误差？因此，数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应（残差）为：61(0.84916585.712)6.627对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号21()niiiyy称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。表示为：我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和如何衡量预报的精度？显然，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果越好。如果某组数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析，则可以通过比较R2的值来做出选择，即选取R2较大的模型作为这组数据的模型。学以致用：1、在对两个变量Ｘ，Ｙ进行线性回归分析时有下列步骤：①对所求出的回归方程作出解释，②收集数据（，）③求线性回归方程，④求相关系数，⑤根据所搜集的数据绘制散点图．如果根据可靠性要求能够作出变量Ｘ，Ｙ具有线性相关结论，则在下列操作顺序中正确的是（）Ａ．①②⑤③④Ｂ．③②④⑤①Ｃ．②④③①⑤Ｄ．②⑤④③①ixiy学以致用：2、对于相关指数，下列说法正确的是（）2R2R2RＡ、的取植越小，模型拟合效果越好Ｂ、的取值可以是任意大，且取值越大拟合效果越好Ｃ、的取值越接近１，模型拟合效果越好Ｄ、以上答案都不对2R2R2R学以致用：3、甲、乙、丙，丁四位同学各自对Ａ，Ｂ两变量的线性相关性做实验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙丁r0.820.780.690.85m106115124103则哪位同学的实验结果体现Ａ，Ｂ两变量有更强的线性相关性Ａ．甲Ｂ．乙Ｃ．丙Ｄ．丁学以致用：4、已知两个变量x和y之间有线性相关性，４次实验得到样本如下：6.13.920y3210x（１）则y对x的线性回归方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（２）相应于各样本点的残差（i=1,2,3,4)分别是＿＿，＿＿＿，＿＿＿，＿＿＿．残差平方和是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ie课堂总结：1、线性回归分析的步骤2、回归模型的建立3、随机误差的研究知识小节:数学思想小结:1、最小二乘法思想2、函数与方程的思想3、数形结合