31回归分析的基本思想及其初步应用

3.1回归分析的基本思想及其初步应用高二数学选修2-3第三章统计案例比《数学3》中“回归”增加的内容数学３——统计1.画散点图2.了解最小二乘法的思想3.求回归直线方程y＝bx＋a4.用回归直线方程解决应用问题选修2-3——统计案例5.引入线性回归模型y＝bx＋a＋e6.了解模型中随机误差项e产生的原因7.了解相关指数R2和模型拟合的效果之间的关系8.了解残差图的作用9.利用线性回归模型解决一类非线性回归问题10.正确理解分析方法与结果复习回顾1、线性回归模型：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。y=bx+a+e，E(e)=0,D(e)=(4)2.2、数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差的效应，称为残差。)iiyy(iiieyy=3、对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号表示为：称为残差平方和，它代表了随机误差的效应。21()niiiyy4、两个指标：（1）类比样本方差估计总体方差的思想，可以用作为的估计量，越小，预报精度越高。22111ˆˆˆˆ(,)(2)22nieQabnnn22（2）我们可以用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：222112211()()1()()nniiiiinniiiiyyyyRyyyyR21，说明回归方程拟合的越好；R20，说明回归方程拟合的越差。在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据。5、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。12,,,neee我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。案例2一只红铃虫的产卵数y和温度x有关。现收集了7组观测数据列于表中：（1）试建立产卵数y与温度x之间的回归方程；并预测温度为28oC时产卵数目。（2）你所建立的模型中温度在多大程度上解释了产卵数的变化？温度xoC21232527293235产卵数y/个711212466115325非线性回归问题假设线性回归方程为：ŷ=bx+a选模型由计算器得：线性回归方程为y=19.87x-463.73相关指数R2=r2≈0.8642=0.7464估计参数解：选取气温为解释变量x，产卵数为预报变量y。选变量所以，二次函数模型中温度解释了74.64%的产卵数变化。探索新知画散点图050100150200250300350036912151821242730333639方案1分析和预测当x=28时，y=19.87×28-463.73≈93一元线性模型奇怪？9366?模型不好？y=bx2+a变换y=bt+a非线性关系线性关系方案2问题１选用y=bx2+a，还是y=bx2+cx+a？问题3-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温问题2如何求a、b？合作探究t=x2二次函数模型方案2解答平方变换：令t=x2，产卵数y和温度x之间二次函数模型y=bx2+a就转化为产卵数y和温度的平方t之间线性回归模型y=bt+a温度21232527293235温度的平方t44152962572984110241225产卵数y/个711212466115325作散点图，并由计算器得：y和t之间的线性回归方程为y=0.367t-202.543，相关指数R2=0.802将t=x2代入线性回归方程得：y=0.367x2-202.543当x=28时，y=0.367×282-202.54≈85，且R2=0.802，所以，二次函数模型中温度解释了80.2%的产卵数变化。产卵数y/个0501001502002503003500150300450600750900105012001350t问题２变换y=bx+a非线性关系线性关系21cxyce问题１如何选取指数函数的底?-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温指数函数模型方案3合作探究对数方案3解答温度xoC21232527293235z=lny1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784产卵数y/个71121246611532500.40.81.21.622.42.8036912151821242730333639xz当x=28oC时，y≈44，指数回归模型中温度解释了98.5%的产卵数的变化由计算器得：z关于x的线性回归方程为0.272x-3.849ˆ.ye22111221lnln()lnlnlnlnlncxcxycececcxecxc对数变换：在中两边取常用对数得21cxyce令，则就转换为z=bx+a.12ln,ln,zyacbc21cxyceˆz=0.272x-3.849,相关指数R2=0.98最好的模型是哪个?-200-1000100200300400-40-30-20-10010203040产卵数气温-50050100150200250300350400450-10-50510152025303540产卵数气温-10001002003004000510152025303540产卵数线性模型二次函数模型指数函数模型比一比函数模型相关指数R2线性回归模型0.7464二次函数模型0.80指数函数模型0.98最好的模型是哪个?回归分析（二）(1)0.2723.849(2)2ˆˆy,y0.367202.543.xex则回归方程的残差计算公式分别为：由计算可得：(1)(1)0.2723.849(2)(2)2ˆˆ,1,2,...,7;ˆˆ0.367202.543,1,2,...,7.xiiiiiiiieyyyeieyyyxix21232527293235y7112124661153250.557-0.1011.875-8.9509.230-13.38134.67547.69619.400-5.832-41.000-40.104-58.26577.968(1)ˆe(2)ˆe(1)(2)ˆˆ1550.538,15448.431.QQ因此模型（1）的拟合效果远远优于模型（2）。总结1122(,),(,),...,(,),nnxyxyxy对于给定的样本点两个含有未知参数的模型：(1)(2)(,)(,),yfxaygxb和其中a和b都是未知参数。拟合效果比较的步骤为：（1）分别建立对应于两个模型的回归方程与其中和分别是参数a和b的估计值；（2）分别计算两个回归方程的残差平方和与（3）若则的效果比的好；反之，的效果不如的好。(1)ˆˆ(,)yfxa(2)ˆˆ(,),ygxbˆaˆb(1)(1)21ˆˆ()niiiQyy(2)(2)21ˆˆ();niiiQyy(1)(2)ˆˆ,QQ(1)ˆˆ(,)yfxa(2)ˆˆ(,)ygxb(2)ˆˆ(,)ygxb(1)ˆˆ(,)yfxa练习：为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集数据如下：天数x/天123456繁殖个数y/个612254995190（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；（2）描述解释变量与预报变量之间的关系；（3）计算残差、相关指数R2.天数繁殖个数解：（1）散点图如右所示（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=的周围，于是令Z=lny,则2Cx1eCx123456Z1.792.483.223.894.555.25由计数器算得则有ˆZ=0.69X1.1120.69x1.112ˆy=eˆy6.0612.0924.0948.0495.77190.9y612254995190n22ii=11ˆˆe()3.1643,niiiyyn222i1i=1()yny25553.3.niiyy（3）即解释变量天数对预报变量繁殖细菌得个数解释了99.99%.23.164310.9999.25553.3R练习假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计资料。使用年限x23456维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知,y对x呈线性相关关系。试求：（1）线性回归方程的回归系数；（2）求残差平方和；（3）求相关系数；（4）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ˆˆˆybxaˆˆab、2R解：（1）由已知数据制成表格。12345合计23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.0112.34916253690ixiyiixy2ix4;5;xy5521190;112.3.iiiiixxyiˆˆ1.23,0.08.baˆ1.230.08.yx所以有