2018年高考数学二轮专题复习训练： 三角恒等变换与解三角形

考点一三角恒等变换及求值一、基础知识要记牢三角恒等变换的主要考查形式是三角函数式的求值．包括：(1)“给角求值”，即通过三角恒等变换求三角函数式的值；(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的其他三角函数式的值；(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角．第二讲三角恒等变换与解三角形二、经典例题领悟好[例1](1)(2017·嘉兴调研)4sin80°－cos10°sin10°＝()A．3B．－3C．2D．22－3(2)(2017·全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C．29D．79[解析](1)依题意，∵sin80°＝cos10°，∴4sin80°－cos10°sin10°＝4sin10°cos10°－cos10°sin10°＝2sin20°－cos10°sin10°＝2sin30°－10°－cos10°sin10°＝212cos10°－32sin10°－cos10°sin10°＝－3sin10°sin10°＝－3，故选B.(2)将sinα－cosα＝43的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝169，即sin2α＝－79.[答案](1)B(2)A三角函数恒等变换“六策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．(5)公式的变形应用：如sinα＝cosαtanα，tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)等．(6)角的合成及三角函数名的统一：运用辅助角公式合成角及统一三角函数名称.三、预测押题不能少1．(1)设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为()A．[－2，1]B．[－1，2]C．[－1,1]D．[1，2]解析：∵sinαcosβ－cosαsinβ＝1，即sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，∴α－β＝π2，又0≤α≤π，0≤β＝α－π2≤π，则π2≤α≤π，∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin2α－α＋π2＋sin(α－2α＋π)＝cosα＋sinα＝2sinα＋π4，∵π2≤α≤π，∴3π4≤α＋π4≤5π4，∴－1≤2sinα＋π4≤1，即所求取值范围为[－1,1]，故选C.答案：C(2)若tanα－π4＝16，则tanα＝________.解析：tanα＝tanα－π4＋π4＝tanα－π4＋tanπ41－tanα－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：75考点二正、余弦定理一、基础知识要记牢(1)正弦定理：在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．(2)余弦定理：在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.(3)三角形面积公式：S△ABC＝12absinC＝12cbsinA＝12acsinB.二、经典例题领悟好[例2](2016·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解](1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．[解]由S＝a24得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sinA＝12sin2B＝sinBcosB.因为sinB≠0，所以sinC＝cosB.又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.关于解三角形问题，首先要联想三角形三定理：正弦、余弦及内角和定理，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是解决问题的突破口.三、预测押题不能少2．在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.(1)求sinC的值；(2)若a＝7，求△ABC的面积．解：(1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(2)因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋32－2b×3×12，解得b＝8或b＝－5(舍去)．所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.考点三解三角形的应用一、经典例题领悟好[例3]如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙开始从A乘缆车，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m．经测量，cosA＝1213，cosC＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？[解](1)在△ABC中，因为cosA＝1213，cosC＝35，所以sinA＝513，sinC＝45.从而sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理ABsinC＝ACsinB，得AB＝ACsinB×sinC＝12606365×45＝1040(m)．所以索道AB的长为1040m.(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[解]假设乙出发tmin后，甲、乙两游客距离为dm，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×1213＝200(37t2－70t＋50)，因0≤t≤1040130，即0≤t≤8，故当t＝3537(min)时，甲、乙两游客距离最短．(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？[解]由正弦定理BCsinA＝ACsinB，得BC＝ACsinB×sinA＝12606365×513＝500(m)．乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min，由题意得－3≤500v－71050≤3，解得125043≤v≤62514，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在125043，62514(单位：m/min)范围内．1本题属于三角函数建模问题，其求解的关键是运用所学的解三角形的知识和方法对该问题进行分析，然后检验所得的解，并写出实际问题的结论便可.2三角形问题求解中函数建模思想的常见类型：①利用余弦定理转化为长度关于某一未知数的函数；②由面积公式S△＝12absinC转化为面积S关于角的三角函数的函数；③由正弦定理转化为边的长度关于某一三角形内角的函数.二、预测押题不能少3.如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1，2≈1.414，5≈2.236)．解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v，在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝ADcos60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos45°＝1002.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，所以(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案：22.6“知能专练”见“知能专练(七)”(单击进入电子文档)