2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法

【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第1页共11页2018年高考数学数列专题复习通项与前n项和通法一、问题描述一般地，对数列自身来讲，主要有以下题型：第一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用nS与1nS的关系；（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造法。第二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法。第三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重。二、智慧笔记1.证明等差等比数列①等差数列的证明方法：（1）定义法：1nnaad(常数)（2）等差中项法：112(2)nnnaaan②等比数列的证明方法：（1）定义法：1nnaqa(常数)（2）等比中项法：211(2)nnnaaan2.通项}{na的求法①累加法：数列有形如)(1nfaann的递推公式，且)}({nf的前n项和可求，可利用累加法求))((211niiinnaaaaa。②累乘法：数列有形如nnanfa)(1的递推公式，且)}({nf的前n项积可求，则利用累乘法求出通项))2((123121naaaaaaaaannnn。③已知通项公式na与前n项和nS关系求通项：利用na和nS的关系，若给出nS或可以求出nS，则可利用2,1,11nSSnaannn，求na。④辅助数列法：（Ⅰ）递推公式为qpaann1型【其中，p,q为常数，0)1)(1(qppq】方法为：利用待定系数法将其变形为)(1nnapa，再设nnba，则}{bn即为以11ab为首项，p为公比的等比数列，求出}{bn的通项【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第2页共11页公式，从而求出na；（Ⅱ）递推公式为11nnnqpaa型【其中p,q为常数0)1)(1(qppq】.方法为：先在原递推公式两边同除以nq，得qqaqpqannnn111，引入辅助数列}{bn（其中nnnqab），得qbqpbnn11，再应用类型（Ⅰ）的方法解决。（Ⅲ）递推关系为cabaaannn1（其中a,c为常数且0ac）型的数列，取倒数得nnnnaacabaacbaa11，当ba时}1{na是等差数列；当ba时nnnnaacabaacbaa11，令nnnnabab1111，，可利用类型（Ⅰ）的方法解决。3.典型的求和方法①分组求和法：数列的通项公式为nnba的形式，其中}{an和}{nb满足不同的求和公式，常见于}{na为等差数列，}{nb为等比数列或者}{na和}{bn分别是数列的奇数项和偶数想，并满足不同的规律。②倒序相加法：讲一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前n项和公式的推导即用此方法）。③错位相减法：求数列}{nnba和}ba{nn的前n项和，数列}{na，}{bn分别为等差与等比数列，求和时，在已知求和式的两边乘以等比数列公比q后，向后错一项，与原数列的和做差，即nnqSS，然后求nS即可。注意：（Ⅰ）等比数列公比为负数的情形；（Ⅱ）应用等比数列求和公式注意1q，如果不能确定公比q是否为1，应讨论。④裂项相消：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项。【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第3页共11页常见的裂项相消变化有：（Ⅰ）111)1(1nnnnan；（Ⅱ）)11(1)(1knnkknnan；（Ⅲ）)121121(21)12(1-21nnnnan）（；（Ⅳ）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan；（Ⅴ）nnnnan111；注意：（Ⅰ）使用裂项法，应注意正负项相消时削去了哪些项，保留了哪些项；（Ⅱ）由于数列}{na中每一项na均裂成了一正一负两项，所以互为相反数的项合并为零后，所剩正数项与负数项的项数必定相同。4.几个重要考点①方程思想：1()2nnnaaS=1(1)2nndna等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,nnaaqnS五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个。②函数思想：等差数列{}na的前n项的和221()()22nddSfnnanAnBn，（A、B是与n无关的常数），关于n的二次型函数，没有常数项.③nS的最大（小）值：方法一：不等式组思想：nS的最大值100nnaa,求得n的值再求nS.nS的最小值100nnaa，求得n的值再求nS.方法二：利用项的单调性求解.判断哪些项为负数，哪些项为非负数，从而求nS的最值.方法三：(函数思想)利用nS：由21()22nddSnan，利用二次函数，数形结合，求得最大（小）值时n的值.nS的最大值2()nSfnAnBn的最大值。奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第4页共11页nS的最小值2()nSfnAnBn的最小值。方法四：利用差比或者商比【判定()nSfn的单调性】(1)(1)()()fnfnfnfn的差与零的关系或者的商与1的关系，从而判定nSfn的单调性.END三、智囊例题【例1】【2014高考湖北文第18题理第18题】已知等差数列}{na满足：21a，且1a、2a、5a成等比数列.（1）求数列}{na的通项公式.（2）记nS为数列}{na的前n项和，是否存在正整数n，使得?80060nSn若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.【答案】（1）2na或24nan.【解析】试题分析：（1）设数列}{na的公差为d，根据dd42,2,2成等比数列求得d的值，从而求得数列}{na的通项公式；（2）由（1）中求得的na，根据等差数列的求和公式求出nS，解不等式80060nSn求出满足条件的的n.【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第5页共11页【例2】【2014高考湖南卷文第16题】已知数列na的前n项和NnnnSn，22.(1)求数列na的通项公式；(2)设nnanabn12，求数列nb的前n2项和.【答案】(1)nan(2)21222nnTn【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第6页共11页【例3】【2015高考安徽文18】已知数列na是递增的等比数列，且14239,8.aaaa（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设nS为数列na的前n项和，11nnnnabSS，求数列nb的前n项和nT.（Ⅰ）由题设可知83241aaaa，又941aa，可解的8141aa或1841aa（舍去）由314qaa得公比2q，故1112nnnqaa.（Ⅱ）1221211)1(1nnnnqqaS又1111111nnnnnnnnnnaSSbSSSSSS【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第7页共11页所以1113221211111...1111...nnnnnSSSSSSSSbbbT12111n.例4】【2015高考山东理18】设数列na的前n项和为nS.已知233nnS.（I）求na的通项公式；（II）若数列nb满足3lognnnaba，求nb的前n项和nT.【解析】所以，13,1,3,1,nnnan1363623nn，又1T适合此式.13631243nnnT【例5】【2013浙江18理文19】在公差为d的等差数列}{na中,已知101a,且3215,22,aaa成等比数列.【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第8页共11页(1)求nad,;(2)若0d,求123||||||||.naaaaLL【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)aaaadaddd224112122125253404611nndddddddanan或(Ⅱ)由(1)知,当0d时,11nan,①当111n时,123123(1011)0||||||||2(21)2nnnnnaaaaaaaaannLLLL②当12n时,1231231112131231112320||||||||()11(2111)(21)2()()222212202nnnnaaaaaaaaaaaannaaaaaaaannLLLLLLLLLL所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2nnnnaaaannnLL四．智客习题A组（夯实基础）时间：30分钟一、选择题（每题5分，共60分）1．(2011年福建泰宁调研)已知等比数列{an}中有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝()A．2B．4C．8D．16【高考数学专题复习】编辑：智名堂文韬第9页共11页2．(2011年福建泰宁调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n－n2，则a4＝()A．－6B．－8C．－12D．－143．若数列{an}是公比为4的等比数列，且a1＝2，则数列{log2an}是()A．公差为2的等差数列B．公差为lg2的等差数列C．公比为2的等比数列D．公比为lg2的等比数列4．一个四边形的四个内角成等差数列，最小角为40°，则最大角为()A．140°B．120°C．100°D．80°5．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且SnTn＝7n＋45n－3，则使得anbn为整数的正整数n的个数是()A．3B．4C．5D．66.(2011年辽宁)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为()A．2B．4C．8D．167．(2010年浙江)设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝()A．11B．5C．－8D．－118．数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋1bn＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn＝()A.12n＋1B.1n＋1C.n2n＋1D.nn＋19.(2011年安徽)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…a10＝()A．15B．12C．－12D．－1510.(2011年四川)数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则a8＝()A．0B．3C．8D．1111.(2010年北京)在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1.若am＝a1a2a3a4a5，则m＝()A．9B．10C．11D．1212．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝2，若数列{}1＋an也是等比数列，则Sn等于()A．2nB．3nC．2n＋1－2D．3n－1二、填空题（每题5分，共20分）13.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2an－1，则an＝________.14.(2010年福建)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.15．已知数列an＝n－1n为奇数，nn为偶数，则a1＋a100＝________，a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝________.16．(2011年江苏)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，