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1【科学备考】（新课标）高考数学二轮复习第四章三角函数及三角恒等变换三角恒等变换理（含2014试题）理数1.(2014课表全国Ⅰ，8，5分)设α∈,β∈,且tanα=,则()A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=[答案]1.C[解析]1.由tanα=得=,即sinαcosβ=cosα+sinβcosα,所以sin(α-β)=cosα,又cosα=sin,所以sin(α-β)=sin,又因为α∈,β∈,所以-α-β,0-α,因此α-β=-α,所以2α-β=,故选C.2.（2014重庆一中高三下学期第一次月考，9）（）（A）（B）2（C）（D）4[答案]2.C[解析]2.因为,而,所以原式的值为.3.(2014河北唐山高三第一次模拟考试，8)若则（）[答案]3.A2[解析]3.由可得：.4.(2014贵州贵阳高三适应性监测考试,6)若等于（）[答案]4.C[解析]4.由已知，所以=，两边平方可得：，所以5.(2014黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试，4)若，则的值为（）A.B.C.D.[答案]5.C[解析]5.因为，所以，所以.6.(2014重庆铜梁中学高三1月月考试题，2)若是纯虚数，则（）A.B.C.D.[答案]6.B[解析]6.依题意，且，所以，，3所以.7.（2014江西重点中学协作体高三第一次联考数学（理）试题，8）已知函数（,）在处取得最大值，则函数是（）A．偶函数且它的图象关于点对称B．偶函数且它的图象关于点对称C．奇函数且它的图象关于点对称D．奇函数且它的图象关于点对称[答案]7.B[解析]7.，其中.由题意可得，解得，所以，所以，是偶函数，且其图像关于对称.根据题意可得的图像关于对称，且其最小正周期为.根据图像平移可得8.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，12）把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，4当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（）A．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4[答案]8.A[解析]8.，其图像向右平移个单位，得到的图像，又因为其图像关于直线对称，可得，得，解得，所以曲线的解析式为，，由题意可得对恒成立，由此可得k=1+2n，n∈Z，b=1.9.（2014吉林实验中学高三年级第一次模拟，5）若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[答案]9.B[解析]9.因为C=π－(A+B)，结合条件可得sin(A+B)sin(A－B)＝sin2(A+B)，又因为sin(A+B)≠0，所以可得sin(A－B)＝sin(A+B)，整理得sinAcosB=0，又因为sinA≠0，可得cosB=0，又因为B∈（0，π），所以B=.10.(2014河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试（四）数学（理）试题,5)已知为锐角，，则=()(A)(B)(C)(D)[答案]10.D[解析]10.因为为锐角，可得，所以，而5.11.(2014重庆七校联盟,3)（创新）的值为（）[答案]11.C[解析]11..12.(2014河南郑州高中毕业班第一次质量预测,9)设函数，且其图象关于直线对称，则（）A.的最小正周期为，且在上为增函数B.的最小正周期为，且在上为减函数C.的最小正周期为，且在上为增函数D.的最小正周期为，且在上为减函数[答案]12.B[解析]12.，，，又函数图象关于直线对称，，即，又，，，令，解得，函数的递减区间为，又，函数在上为减函数，故函数的最小正周期为，在上为减函数，选C.13.(2014河北衡水中学高三上学期第五次调研考试,7)已知则等于（）A.B.C.D.[答案]13.C[解析]13.，得，所以.614.(2014成都高中毕业班第一次诊断性检测，6)如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于,两点,若点,的坐标为和，则的值为()(A)(B)(C)(D)[答案]14.A[解析]14.依题意，，，，，.15.(2014江西七校高三上学期第一次联考,8)在中，若，则的形状一定是（）A.等边三角形B.不含60°的等腰三角形C.钝角三角形D.直角三角形[答案]15.D[解析]15.，，，即，故是直角三角形.16.(2014课标全国卷Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为________.[答案]16.1[解析]16.f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.17.(2014山西太原高三模拟考试（一），15)已知O是锐角ABC的外接圆的圆心，且∠A=，若，则实数m=.(用表示)[答案]17.7[解析]17.设外接圆半径为R，则：可化为：（*）.易知与的夹角为2∠C，与的夹角为2∠B，与的夹角为0，||=||=||=R.则对（*）式左右分别与作数量积，可得：.即R2（cos2C－1）+•R2（cos2B－1）=－2mR2.∴－2sinCcosB+（－2sinBcosC）=－2m，∴sinCcosB+sinBcosC=m，即sin（B+C）=m.因为sinA=sin[π－（B+C）]=sin（B+C）且∠A=θ，所以，m=sinA=sinθ.18.(2014山西太原高三模拟考试（一），13)若的展开式中的系数为2,则=.[答案]18.[解析]18.的展开式的通项为，当x=3时，可得的系数为,得，所以=.19.（2014广东汕头普通高考模拟考试试题，9）已知,，则___________.[答案]19.[解析]19.由已知可得，所以.20.（2014山东潍坊高三3月模拟考试数学（理）试题，13）若，则的最大值为．8[答案]20.[解析]20.(当且仅当时等号成立).21.（2014江西红色六校高三第二次联考理数试题，14）设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是.[答案]21.[解析]21.，所以可得，又因为，所以可得.因为当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以可得，解得.22.(2014湖北武汉高三2月调研测试，14)已知函数f(x)＝sin2x＋2cos2x＋m在区间[0，]上的最大值为3，则（Ⅰ）m＝；（Ⅱ）对任意a∈R，f(x)在[a，a＋20π]上的零点个数为．9[答案]22.（1）0；（2）40或41[解析]22.（1）＝因为：，所以，，所以，，.（2）由（1），周期，在长为的闭区间内有两个或三个零点，区间的长度为十个周期，故零点个数为40个或41个.23.(2014江西七校高三上学期第一次联考,12)若点在直线上，则的值等于.[答案]23.[解析]23.依题意，，即，又.24.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)求sin的值.[答案]24.查看解析[解析]24.(Ⅰ)因为A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB.由正、余弦定理得a=2b·.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(Ⅱ)由余弦定理得cosA===-.由于0Aπ,所以sinA===.故sin=sinAcos+cosAsin=×+×=.1025.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sinAcosA-sinBcosB.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.[答案]25.查看解析[解析]25.(Ⅰ)由题意得-=sin2A-sin2B,即sin2A-cos2A=sin2B-cos2B,sin=sin.由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-+2B-=π,即A+B=,所以C=.(Ⅱ)由c=,sinA=,=,得a=,由ac,得AC.从而cosA=,故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=,所以,△ABC的面积为S=acsinB=.26.(2014江苏,15,14分)已知α∈,sinα=.11(1)求sin的值;(2)求cos的值.[答案]26.查看解析[解析]26.(1)因为α∈,sinα=,所以cosα=-=-.故sin=sincosα+cossinα=×+×=-.(2)由(1)知sin2α=2sinαcosα=2××=-,cos2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos2α+sinsin2α=×+×=-.27.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且ac.已知·=2,cosB=,b=3.求:(Ⅰ)a和c的值;(Ⅱ)cos(B-C)的值.[答案]27.查看解析[解析]27.(Ⅰ)由·=2得c·acosB=2,又cosB=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.12又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因ac,所以a=3,c=2.(Ⅱ)在△ABC中,sinB===,由正弦定理,得sinC=sinB=×=.因a=bc,所以C为锐角,因此cosC===.于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=×+×=.28.(2014天津,15,13分)已知函数f(x)=cosx·sin-cos2x+,x∈R.(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;(Ⅱ)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值.[答案]28.查看解析[解析]28.(Ⅰ)由已知,有f(x)=cosx·-cos2x+=sinx·cosx-cos2x+=sin2x-(1+cos2x)+=sin2x-cos2x=sin.13所以f(x)的最小正周期T==π.(Ⅱ)因为f(x)在区间上是减函数,在区间上是增函数.f=-,f=-,f=.所以函数f(x)在闭区间上的最大值为,最小值为-.29.(2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，17)已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）求图象的对称轴方程和对称中心的坐标．[答案]29.查看解析[解析]29.==（1）T=π；4分（2）由可得单调增区间（．8分（3）由得对称轴方程为，由得对称中心坐标为．12分30.(2014山西忻州一中、康杰中学、临汾一中、长治二中四校高三第三次联考，17)已知ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．14cosA＝，sinB＝cosC．(1)求tanC的值；(2)若a＝，求ABC的面积．[答案]30.查看解析[解析]30.(1)∵cosA＝∴sinA＝，……………2分又cosC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋sinCcosA＝cosC＋sinC．……………5分整理得：tanC＝．……………6分(2)由（1）知sinC＝，cosC＝由正弦定理知：，故．……………9分又∵sinB＝cosC=……………10分∴ABC的面积为：S＝=．……………12分31.(2014山西太原高三模拟考试（一），17)已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为,面积为S，（I）求角A的值；（Ⅱ）若=,求S+cosBcosC取最大值时S的值.[答案]31.查看解析[解析]31.1532.(2014山东青岛高三第一次模拟考试,16)已知向量，，.（Ⅰ）求函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,若，求的大小.[答案]32.查看解析16[解析]32.（Ⅰ），所以递减区间是.（5分）（Ⅱ）由和得:,若，而又,所以因为，所以若，同理可得：，显然不符合题意，舍去.（9分）所以，由正弦定理得:.（12分）33.(2014福州高中毕业班质量检测,17)已知函数.（Ⅰ）当时，求函