数学：2.3《等差数列的前n项和》课件(新人教A版必修5)

高斯的故事高斯上小学时，有一次数学老师给同学们出了一道题：计算从1到100的自然数之和。那个老师认为，这些孩子算这道题目需要很长时间，所以他一写完题目，就坐到一边看书去了。谁知，他刚坐下，马上就有一个学生举手说：“老师，我做完了。”老师大吃一惊，原来是班上年纪最小的高斯。老师走到他身边，只见他在笔记本上写着5050，老师看了，不由得暗自称赞。为了鼓励他，老师买了一本数学书送给他。思考：现在如果要你算，你能否用简便的方法来算出它的值呢？10099321.1计算：nn)1(321.2计算：50502)1001(100100993212)1()1(321nnnn100＋99＋98＋…＋2＋1n＋(n-1)＋(n-2)＋…＋2＋1问题1•如图，建筑工地上一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1，2，3，……，10.问共有多少根圆木？请用简便的方法计算.问题2数列前n项和的意义数列｛an｝：a1，a2，a3，…，an，…我们把a1＋a2＋a3＋…＋an叫做数列｛an｝的前n项和，记作Sn这节课我们研究的问题是：(1)已知等差数列｛an｝的首项a1，项数n，第n项an，求前n项和Sn的计算公式；(2)对此公式进行应用。设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，即Sn=a1+a2+…+an=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]又Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d]∴2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)=n(a1+an))()(121nnaanS此种求和法称为倒序相加法n个思考：若已知a1及公差d，结果会怎样呢？)()(2211dnnnaSn公式的推导2)1nnaanS（dnaan)1(1dnnnaSn2)11（dnaan)1(1dnnnaSnn2)1（设n)2da(n2dd2)1n(nnaS121n若a1、d是确定的，那么2daB,2dA1上式可写成Sn=An2+Bn若A≠0（即d≠0）时，Sn是关于n的二次式且缺常数项。等差数列的前n项和公式的其它形式分析公式的结构特征例:等差数列－10,－6,－,2,…的前多少项的和为54？解：设题中的等差数列是｛an｝，前n项和为Sn.则a1＝－10，d＝－6－（－10）＝4，Sn＝54.由等差数列前n项和公式，得5442)1(10nnn解得n1＝9，n2＝－3（舍去）.因此，等差数列的前9项和是54.举例1.an＝？an=4n-14Sn=2n2-12n2.Sn呢？nSnO6nanOan=4n-14Sn=2n2-12nSn的深入认识课外探索1、已知等差数列16，14，12，10，…(1)前多少项的和为72？(2)前多少项的和为0？(3)前多少项的和最大？2、求集合的元素个数，并求这些元素的和.100,,7|mNnnmmM且解：1007n72147100n所以集合M中的元素共有14个.将它们从小到大列出，得,7,72,73,74,,714即7，14，21，28，…，98这个数列是成等差数列，记为na14,98,7141naa.7352)987(1414S2)1nnaanS（答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.3、已知一个直角三角形的三条边的长成等差数列，求证它们的比是3：4：5.证明：将成等差数列的三条边的长从小到大排列，它们可以表示为a-d,a,a+d(这里a-d0,d0)由勾股定理，得到222)()(daada解得da4从而这三边的长是3d,4d,5d,因此，这三条边的长的比是3：4：5也成等差数列，，，，、KKKKKKKSSSSSSS342324作业P.52练习1、2、3