课后答案

•P602.1有电路如图所示，设输入为u1，输出为u2，试自选状态变量并列写出其状态空间表达式。u2R1RuC1C2u12u解：此题可采样机理分析法，首先根据电路定律列写微分方程，再选择状态变量，求得相应的系统状态空间表达式。也可以先由电路图求得系统传递函数，再由传递函数求得系统状态空间表达式。这里采用机理分析法。设C1两端电压为uc1，C2两端的电压为uc2，则212221cccduuCRuudt112121cccduuduCCdtRdt(1)(2)选择状态变量为1122ccxuxu由式(1)和(2)得1121121121212111cccduRRCuuudtRRCRCRC2121222222111cccduuuudtRCRCRC状态空间表达式为即12111211212121212122222221111111RRCxxxuRRCRCRCxxxuRCRCRCyuux12121121211112222222211111RRCRCRRCRCxxuxxRCRCRC11210xyuxP612.8已知系统的微分方程(1)453yyyyu23557yyyyuu(3)试列写出它们的状态空间表达式。解：(1)选择状态变量123yxyxyx则有122331231543xxxxxxxxuyx状态空间表达式为112233123010000105413100xxxxuxxxyxx323()2()3()5()5()7()sYssYssYsYssUsUs(3)采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初始条件下取拉氏变换得在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m是否小于n，若m=n需作如下处理332()57()235YssUssss323232()571015185()235235YssssUsssssss112233010000105321xxxxuxx可直接求得系统状态空间表达式为1231005xyxuxP612.9已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。(1)3321()6116ssgssss解：(1)首先将传函化为严格真有理式即232()6105()11()()6116YsssgsgsUssss能控标准形状态空间表达式11223312301000010611615106xxxxuxxxyxux状态变量图如下P622.10用串联分解法建立下列传递函数的状态空间表达式，并画出状态变量图。(1)61()23sgssss解：(1)先将传递函数分解成子系统串联的形式611612()12323sgsssssss可得状态变量图如下若指定图中每个积分器的输出量均为状态变量，则由系统的状态变量图可直接得到状态空间表达式为1212323236232xuxxxxxxyxx112233123000612000130012xxxxuxxxyxx即P622.11用并联分解法重做题2.10。(1)61()23sgssss解：(1)先将传递函数分解成部分分式312()23cccgssss1061lim123ssscsss22621lim323ssscsss33631lim423ssscsss134()23gssss令1231()()1()()21()()3xsussxsussxsuss则有123134()()()()23()3()4()ysususussssxsxsxs可得122331232334xuxxuxxuyxxx状态表达式为112233123000102010031134xxxxuxxxyxx状态变量图为P622.13列写如图所示系统的状态空间表达式。1u2u1y2yascbsd--解：设1122()()()()xsysxsys112221()()()()()()cxsusxssadxsusxssb112121221122()()()()()()()()()()()()xtaxtcxtcutxtdxtbxtdutytxtytxt则由系统方框图可得进行拉氏反变换得1112221122001001xxuaccxxudbdyxyx则系统状态空间表达式为P622.14试将下列状态方程化为对角标准形。(1)1122010561xxuxx(1)解：①求特征值121(6)5(5)(1)0561,5IA②求特征向量1111111121211015501vvIAvvvv2121222222251015105vvIAvvvva对于有11b对于有25121111551441144PvvP③构造P，求P-1说明：A为友矩阵，特征值互异，可直接写出P为范德蒙矩阵。11100551104441111444APAPBPB④求,AB11040514xxu则得对角标准形P622.16已知系统的状态空间表达式为512315124xxuyxu求其对应的传递函数。解：512,,12,4315ABCd1()()GsCsIABd15131111()(5)(1)335ssIAsssIAsss则122()()1121124(2)(4)3554369168gsCsIABdssssssssP632.19设离散系统的差分方程为(2)5(1)3()(1)2ykykykukuk求系统的状态空间表达式。解：对差分方程取z变换，得22()5()3()()2()()2()()53zyzzyzyzzuzuzyzzgzuzzz112212(1)()010()(1)()351()21()xkxkukxkxkxkyxk离散系统状态方程式为*P622.14试将下列状态方程化为对角标准形。(2)111222330102330215127671xxuxxuxx(2)解：①求特征值1231032(1)(2)(3)012761,2,3IA②求特征向量1111121213131100131201127501vvvvvv1111121213132100232204127401vvvvvva对于有11b对于有221111121213133100133203127303vvvvvv19511212214332111353122PPc对于有33③构造P，求P-111100020003953712723222321151520537127116222APAPBPB④求,AB37271002020152000327162xxu则得对角标准形•P1023.2已知系统状态方程和初始条件为1001010,000121xxx(1)试用拉氏变换法求其状态转移矩阵；(2)试用化对角标准形法求其状态转移矩阵；(3)试用化eAt为有限项法求其状态转移矩阵；(4)根据所给初始条件，求齐次状态方程的解。解：(1)1210000100012AAA12101,12AA其中则有1200AtAtAteee且1Attee2112AteLsIA1121012201(1)(2)11101111212ssIAsssssssss2112220tAtttteeLsIAeee所以状态转移矩阵为112200000tAttttteeLsIAeeee(2)对于210(1)(2)012IA121,2111100011101PP对于222210001001PP110101111PP2122220010100111100tAtttttttteePPeeeeeee2200000tAttttteeeeee(3)矩阵的特征值为1,231,2对于2012()2()4()tettt32对于1,21012()()()tettt因为是二重特征值，故需补充方程12()2()ttett从而联立求解，得202122()2()322()tttttttttetetteeeteete2