组合课件(第一课时)

组合与组合数公式问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙3从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题二从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题一排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.排列与组合的概念有什么共同点与不同点？（一）、组合的定义:?组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:aB与Ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？组合问题排列问题组合问题组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解（二）、组合数注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb（三个元素的）1个组合，对应着6个排列你发现了什么?PPC333434344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于，我们可以按照以下步骤进行（三）、组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以分为以下2步：第1步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数．mnC第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数．mmA根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：!121mmnnnnAACmmmnmn这里m,n是自然数，且mn，这个公式叫做组合数公式．概念讲解组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAmmmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：从n个不同元中取出m个元素的排列数组合数的两个性质:mnmnnCC⑴11mmmnnnCCC⑵证明:1!!!()!(1)![(1)]!mmnnnnCCmnmmnm)!1(!!)1(!mnmmnmnn)!1(!!)1(mnmnmmn)!1(!)!1(mnmnmnC111mmmnnnCCC11mmmnnnCCC⑵①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；②此性质的作用：恒等变形，简化运算；③等式体现：“含与不含某元素”的分类思想.11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元47C37C例1计算：（1）和3100C329999CC（2）和例2．计算：69584737CCCC解：原式＝34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C109872104!1．方程382828xxCC的解集为（）A．4B．9C．D．4,9D2．若108nnCC，则20nC的值为190巩固练习例.11CmnmCmnmn:求证,!!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)((!)!1(1mnmnnmm.!)(!!Cmnmnmn例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解：（1）取出3个球中有黑球的方法数27C76212!例题讲解例1．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解：（1）取出3个球中有黑球的方法数27C76212!37C⑵取出3个球中无黑球的方法数765353!例题讲解例．一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球.（1）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？解：（3）38876563!C按照黑球分类，②取出3个球中有黑球的方法数37C27C∴从口袋内取出3个球，共有取法3277CC38876563!C另法，一次取出的方法数①取出3个球中无黑球的方法数例2(1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?条452910210C10个不同元素中取2个元素的组合数.10个不同元素中取2个元素的排列数.条90910210A(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例3(1)有4本不同的书，一个人去借，有多少种不同的借法？(2)有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本1544342414CCCC（本）(2)解：分三个步骤完成，共有360132436CCC（种）种1617002398991003100C练习：在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(1)有多少种不同的抽法?100个不同元素中取3个元素的组合数(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?12C298C950629812CC从2件次品中抽出1件次品的抽法有从98件合格品中抽出2件的抽法有种96041982229812CCCC种96043983100CC练习在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3件(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?法1含1件次品或含2件次品法2100件中抽3件减98件合格品中抽3件•1．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？•(1)只有一名女生；•(2)两队长当选；•(3)至少有一名队长当选；•(4)至多有两名女生当选；•(5)既要有队长，又要有女生当选．解析：(1)一名女生，四名男生，故共有C15·C48＝350(种)选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165(种)选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12·C411＋C22·C311＝825(种)选法．或采用间接法：C513－C511＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)选法．(5)分两类：第一类，女队长当选，有C412种选法；第二类，女队长不当选，有C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44(种)选法，故选法共有C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)．•1．将5本不同的书分给4人，每人至少1本，不同的分法种数有()•A．120种B．5种•C．240种D．180种解析：先从5本中选出2本，有C25种选法，再与其他三本一起分给4人，有A44种分法，故共有C25·A44＝240(种)不同分法．答案：C组合、排列的综合问题•2．安排3名支教教师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有________种(用数字作答)．解析：每人去一所学校有A36种；两人去一所有C23·A26种，共有分配方案A36＋C23A26＝210(种)．答案：210三、混合问题，先“组”后“排”例3对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？解：由题意知前5次测试恰有4次测到次品，且第5次测试是次品。故有：种可能。576441634ACC练习：某学习小组有5个男生3个女生，从中选3名男生和1名女生参加三项竞赛活动，每项活动至少有1人参加，则有不同参赛方法______种.解：采用先组后排方法:312353431080CCCA①主要学习了组合、组合数的概念。②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。n个不同元素m个元素m个元素的全排列第一步组合第二步排列课堂小结：组合中的分组问题•6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：•(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；•(2)分为三份，每份两本；•(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；•(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；•(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．•[思路点拨](1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组”问题，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．(1)根据分步计数原理得到：C26C24C22＝90(种).2分(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C26C24C22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A33种方法．根据分步计数原理可得：C26C24C22＝xA33，所以x＝C26C24C22A33＝15.因此分为三份，每份两本，一共有15种方法.4分(3)这是“不均匀分组”问题，一共有C16C25C33＝60种方法.6分(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C16C25C33A33＝360种方法.8分(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C26C24C22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C16C25C33A33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C46A33＝90种方法，所以一共有90＋360＋90