高考数学复习：三角函数及三角恒等变换

第四编三角函数及三角恒等变换§4.1任意角和弧度制及任意角的三角函数1.A={小于90°的角}，B={第一象限的角}，则A∩B=（填序号）.①{小于90°的角}②{0°～90°的角}③{第一象限的角}④以上都不对答案④2.将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是.答案33.已知扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则扇形的中心角的弧度数是.答案1或44.已知角终边上一点P的坐标是（2sin2,-2cos2)，则sin=.答案-cos25.是第二象限角，P（x，5）为其终边上一点，且cos=x42,则sin=.答案410例1若是第二象限的角，试分别确定2,2,2的终边所在位置.解∵是第二象限的角，∴k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）.（1）∵2k·360°+180°＜2＜2k·360°+360°（k∈Z），∴2是第三或第四象限的角，或角的终边在y轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜2＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜2＜n·360°+270°.基础自测∴2是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3＜k·120°+60°（k∈Z），当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜3＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜3＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜3＜n·360°+300°.∴3是第一或第二或第四象限的角.例2（1）一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形的面积是多少？（2）一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？解（1）设扇形的圆心角是rad，因为扇形的弧长是r,所以扇形的周长是2r+r.依题意，得2r+r=r,∴=-2=(-2)×180≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,∴扇形的面积为S=21r2=21（-2）r2.（2）设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=20,即l=20-2r(0＜r＜10)①扇形的面积S=21lr，将①代入，得S=21(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当且仅当r=5时，S有最大值25.此时l=20-2×5=10,=rl=2.所以当=2rad时，扇形的面积取最大值.例3（14分）已知角的终边在直线3x+4y=0上，求sin,cos,tan的值.解∵角的终边在直线3x+4y=0上，∴在角的终边上任取一点P（4t,-3t）(t≠0),2分则x=4t,y=-3t,r=tttyx5)3()4(2222,4分当t＞0时，r=5t,sin=5353ttry,cos=5454ttrx,tan=4343ttxy;8分当t＜0时，r=-5t,sin=5353ttry,cos=5454ttrx,tan=4343ttxy.12分综上可知，t＞0时，sin=53,cos=54,tan=43;t＜0时，sin=53,cos=-54,tan=43.14分例4在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围,并由此写出角的集合:(1)sin≥23;(2)cos≤21.解（1）作直线y=23交单位圆于A、B两点，连结OA、OB，则OA与OB围成的区域即为角的终边的范围，故满足条件的角的集合为|2k+3≤≤2k+32，k∈Z.（2）作直线x=21交单位圆于C、D两点，连结OC、OD，则OC与OD围成的区域（图中阴影部分）即为角终边的范围.故满足条件的角的集合为|2k+32≤≤2k+34，k∈Z.1.已知是第三象限角，问3是哪个象限的角？解∵是第三象限角，∴180°+k·360°＜＜270°+k·360°（k∈Z），60°+k·120°＜3＜90°+k·120°.①当k=3m(m∈Z)时，可得60°+m·360°＜3＜90°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第一象限.②当k=3m+1(m∈Z)时，可得180°+m·360°＜3＜210°+m·360°（m∈Z).故3的终边在第三象限.③当k=3m+2（m∈Z）时，可得300°+m·360°＜3＜330°+m·360°（m∈Z）.故3的终边在第四象限.综上可知，3是第一、第三或第四象限的角.2.已知扇形OAB的圆心角为120°，半径长为6,（1）求的弧长；（2）求弓形OAB的面积.解（1）∵=120°=32rad，r=6，∴的弧长为l=32×6=4.(2)∵S扇形OAB=21lr=21×4×6=12，S△ABO=21r2·sin32=21×62×23=93，∴S弓形OAB=S扇形OAB-S△ABO=12-93.3.已知角的终边在y轴上，求sin、cos、tan的值.解∵角的终边在y轴上，∴可在的终边上任取一点（0,t)(t≠0),即x=0，y=t.∴r=22yx=220t=|t|.当t＞0时，r=t,sin=ry=tt=1,cos=rx=t0=0,tan=xy不存在；当t＜0时，r=-t，sin=ry=tt=-1,cos=rx=t0=0,tan=xy不存在.综上可知：sin=±1,cos=0,tan不存在.4.求下列函数的定义域：（1）y=1cos2x；（2）y=lg(3-4sin2x）.解（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x∈32,32kk（k∈Z）.（2）∵3-4sin2x＞0,∴sin2x＜43,∴-23＜sinx＜23.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x∈（k-3,k+3）（k∈Z).一、填空题1.已知cos·tan＜0,那么角是第象限角.答案三或四2.若0＜x＜2，则sinx24x2（用“＞”,“＜”或“=”填空）.答案＞3.与610°角终边相同的角表示为.答案k·360°+250°(k∈Z)4.已知（21）sin2＜1,则所在象限为第象限.答案一或三5.已知点P（tan，cos）在第三象限，则角的终边在第象限.答案二6.已知∈2,2且sin+cos=a，其中a∈(0，1），则关于tan的值，以下四个答案中，可能正确的是（填序号）.①-3②3或31③-31④-3或-31答案③7.已知角的终边落在直线y=-3x(x＜0)上，则coscossinsin.答案28.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t=0时，点A与钟面上标12的点B重合.将A、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d=,其中t∈［0,60］.答案10sin60t二、解答题9.已知sin=aa11,cos=aa113,若是第二象限角，求实数a的值.解∵是第二象限角，∴sin＞0,cos＜0,∴0113cos1111sin0aaaa，解得0＜a＜31.又∵sin2+cos2=1,∴11131122aaaa,解得a=91或a=1(舍去），故实数a的值为91.10.（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形半径为R，中心角为，所对的弧长为l.（1）依题意，得,102,4212RRR∴22-17+8=0,∴=8或21.∵8＞2π,舍去,∴=21.(2)扇形的周长为40,∴R+2R=40，S=21lR=21R2=41R·2R≤41100222RR.当且仅当R=2R,即R=10,=2时面积取得最大值，最大值为100.11.设为第三象限角，试判断2cos2sin的符号.解∵为第三象限角，∴2k+＜＜2k+23(k∈Z),k+4322k(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时，2n+43222n,此时2在第二象限.∴sin2＞0,cos2＜0.因此2cos2sin＜0.当k=2n+1(n∈Z)时，(2n+1)+2＜2＜(2n+1)+43(n∈Z),即2n+23＜2＜2n+47(n∈Z)此时2在第四象限.∴sin2＜0,cos2＞0,因此2cos2sin＜0,综上可知：2cos2sin＜0.12.角终边上的点P与A（a，2a）关于x轴对称（a≠0），角终边上的点Q与A关于直线y=x对称，求sin·cos+sin·cos+tan·tan的值.解由题意得，点P的坐标为（a,-2a)，点Q的坐标为（2a，a）.sin=22252)2(2aaaaa,cos=2225)2(aaaaa,tan=22aa,sin=2225)2(aaaaa,cos=22252)2(2aaaaa,tan=212aa,故有sin·cos+sin·cos+tan·tan=21)2(5255522222aaaaaaaa=-1.§4.2同角三角函数的基本关系与诱导公式1.（2008·常州模拟）sin2(+)-cos(+)·cos(-)+1的值为.答案22.sin210°=.答案213.已知tan=21,且∈23,，则sin的值是.答案554.若cossincossin=2,则sin(-5)·sin23=.答案1035.已知sin=55，则sin4-cos4的值为.答案53基础自测例1已知f()=)sin()tan()tan()2cos()sin(;(1)化简f();(2)若是第三象限角，且cos5123，求f()的值.解（1）f（）=sintan)tan(cossin=-cos.(2)∵cos23=-sin,∴sin=-51,cos=-65251522,∴f()=652.例2（14分）已知-2＜x＜0,sinx+cosx=51.(1)求sinx-cosx的值；（2）求xx22sincos1的值.解（1）方法一联立方程：　xx　　xx1cossin51cossin22②①2分由①得sinx=51-cosx,将其代入②，整理得25cos2x-5cosx-12=0.4分∵-2＜x＜0,∴54cos53sinxx,所以sinx-cosx=-57.7分方法二∵sinx+cosx=51,∴(sinx+cosx)2=251,即1+2sinxcosx=251,∴2sinxcosx=-2524.2分∵(sinx-cosx)2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2524=2549①4分又∵-2＜x＜0,∴sinx＜0,cosx＞0,∴sinx-cosx＜0②由①②可知：sinx-cosx=-57.7分(2)由已知条件及（1）可知57cossin51cossinxxxx,解得54cos53sinxx,9分∴tanx=-43.11分又∵xxxxxx222222sincoscossinsincos1