高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.7 正弦定理和余弦定理课件 文

第三章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.考纲下载正弦定理和余弦定理是每年高考的必考内容，其考查题型为选择题、填空题和解答题都有，选择、填空题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形以及三角形面积公式的应用.解答题常与三角恒等变换结合，属解答题中的中档题，在新课标中显得尤其重要.请注意高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01利用正余弦定理解三角形（重点得分型——师生共研）定理正弦定理余弦定理内容________＝2Ra2＝________b2＝________c2＝________定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝______，b＝____，c＝________②sinA＝________，sinB＝______，sinC＝______.(其中R是△ABC外接圆半径)③abc＝________④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝________cosB＝________cosC＝________定理正弦定理余弦定理解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角asinA＝bsinB＝csinCb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinABCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab【调研1】(1)(2015·北京卷)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin2AsinC＝________.【解析】在△ABC中，由余弦定理的推论可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝52＋62－422×5×6＝34，由正弦定理可知sin2AsinC＝2sinAcosAsinC＝2a·cosAc＝2×4×346＝1.【答案】1(2)(2015·浙江卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝π4，b2－a2＝12c2.①求tanC的值；②若△ABC的面积为3，求b的值．【解】①由b2－a2＝12c2及正弦定理得sin2B－12＝12sin2C，所以－cos2B＝sin2C.又由A＝π4，即B＋C＝34π，得－cos2B＝sin2C＝2sinCcosC，解得tanC＝2.②由tanC＝2，C∈(0，π)得sinC＝255，cosC＝55.又因为sinB＝sin(A＋C)＝sinπ4＋C，所以sinB＝31010.由正弦定理得c＝223b，又因为A＝π4，12bcsinA＝3，所以bc＝62，故b＝3.(1)在解三角形中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础，如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．(1)已知△ABC的三个内角的比是ABC＝321，那么对应的三边之比abc＝()A．321B.321C.321D．231解析：由题意知A＝π2，B＝π3，C＝π6.由正弦定理知abc＝sinAsinBsinC＝231，故选D.答案：D(2)(2015·广东卷)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，sinB＝12，C＝π6，则b＝________.解析：在△ABC中，由sinB＝12，可得B＝π6或B＝5π6，结合C＝π6可知B＝π6，从而A＝23π，利用正弦定理asinA＝bsinB，可得b＝1.答案：1突破考点02利用正、余弦定理判断三角形的形状（题点多变型——一题多变）三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA＋B2＝sinC2.(5)在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．【调研2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【解析】依据题设条件的特点，边化角选用正弦定理，有sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和及互补角的意义，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以A＝π2，即△ABC为直角三角形．【答案】A【题点发散一】若将本例条件改为“(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)”，试判断三角形的形状．【解】∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法1：由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，02A2π，02B2π.∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法2：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．【题点发散二】若将本例条件改为“cos2B2＝a＋c2c”，试判断三角形的形状．【解】由cos2B2＝a＋c2c，得1＋cosB2＝a＋c2c，∴cosB＝ac，即ccosB＝a，∴sinCcosB＝sinA＝sin(B＋C)，∴cosCsinB＝0，∴cosC＝0，∴C＝90°，∴△ABC为直角三角形．【题点发散三】本例的条件变为：若2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.且sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．【解】由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，cosA＝－12，sinA＝32，则sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC，又sinB＋sinC＝1，所以sinBsinC＝14，所以sinB＝sinC＝12.因为0Bπ2，0Cπ2，故B＝C＝π6，所以△ABC是等腰钝角三角形．【题点发散四】本例的条件变为：若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形【解析】由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－πA－Bπ，所以A＝B，选B.【答案】B【题点发散五】本例的条件变为：若acosA＝bcosB，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【解析】由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB⇒sin2A＝sin2B，因为2A,2B∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，选D.【答案】D判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.突破考点03与面积有关的综合问题（高频考点型——多维探究）三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝12acsinB＝12absinC；(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．正、余弦定理与三角形面积的综合问题是每年高考的重点内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题，且主要有以下几个命题角度：【调研3】(1)(2014·福建卷)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．求三角形的面积【解析】在△ABC中，根据正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，所以4sinB＝23sin60°，解得sinB＝1，因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以AB＝42－232＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝12·AB·BC＝23.【答案】23(2)(2014·课标卷Ⅰ)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．【解析】因为a＝2，所以(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，由正弦定理可得(a＋b)·(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理可得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12，又0Aπ，故A＝π3，因为cosA＝12＝b2＋c2－42bc≥2bc－42bc，所以bc≤4，当且仅当b＝c时取等号．由三角形面积公式知S△ABC＝12bcsinA＝12bc·32＝34bc≤3，故△ABC面积的最大值为3.【答案】3求三角形的面积．对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．求面积的最值，常利用余弦定理得到边角关系的方程，通过均值不等式进行转化等，也可以采用数形结合求面积的最值．【调研4】(1)(2015·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cosA＝－14，则a的值为________．已知三角形的面积解三角形【解析】因为cosA＝－14，0Aπ，所以sinA＝1－cos2A＝154.由315＝12bc·sinA得bc＝24.又因为b－c＝2，所以b＝6，c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝36＋16＋12＝64.故a＝8.【答案】8(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1【解析】由题意可得12AB·BC·sinB＝12，又AB＝1，BC＝2，所以sinB＝22，所以B＝45°或B＝135°.当B＝45°时，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1，此时AC＝AB＝1，BC＝2，易得A＝90°，与“钝角三角形”条件矛盾，舍去.所以B＝135°，由余弦定理可得AC＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝5.【答案】B已知三角形的面积解三角形，与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．已知三角形面积，可提供角的信息或边的信息，从而利用它们解三角形．