两角和与差的正弦、余弦、正切公式

第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习2011·考纲下载1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习本课主要题型有：(1)三角函数式的化简与求值；(2)三角函数式的简单证明．这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制其难度．如2010·全国，6题；2010·广东，17题等请注意!第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习1．两角和的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ.(2)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.(3)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.2．两角差的正弦、余弦、正切公式(1)sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)．(2)cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)．(3)tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tan(α－β)．课前自助餐课本导读第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习3．常用公式的变化形式①asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中cosφ＝aa2＋b2.sinφ＝ba2＋b2或asinx＋bcosx＝a2＋b2cos(x－θ)，其中cosθ＝ba2＋b2.sinθ＝aa2＋b2.②tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)③1－tanα1＋tanα＝tan(π4－α)④1＋tanα1－tanα＝tan(π4＋α)第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习1．sin119°sin181°－sin91°sin29°的值为______．解析sin119°·sin181°－sin91°·sin29°＝cos29°·(－sin1°)－cos1°·sin29°＝－(sin1°·cos29°＋cos1°·sin29°)＝－sin30°＝－12答案－12第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习2．cos4π8－sin4π8等于()A．0B.22C．1D．－22答案B第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习3．已知α∈(－π2，0)，sinα＝－45，则tan(α＋π4)等于()A．－7B．－17C.17D．7解析∵α∈(－π2，0)，sinα＝－45，∴cosα＝35，∴tanα＝－43，∴tan(α＋π4)＝1＋tanα1－tanα＝1－431＋43＝－17.答案B第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习4．已知tan(α＋β)＝1，tanβ＝13，则tanα的值为()A．－2B．－12C.12D．2解析∵tanα＝tan(α＋β－β)＝tan（α＋β）－tanβ1＋tan（α＋β）tanβ＝1－131＋13＝12.答案C第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习5．(2010·新课标全国)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝()A．－7210B.7210C．－210D.210答案A第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习解析由题知，cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sinαcosπ4＋cosαsinπ4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210，故选A.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习题型一知角求值授人以渔例1①求sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值．②求cot20°cos10°＋3sin10°·tan70°－2cos40°的值．【解析】①原式＝sin（15°－8°）＋cos15°sin8°cos（15°－8°）－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－3第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习②原式＝tan70°·cos10°＋3sin10°tan70°－2cos40°＝tan70°(cos10°＋3sin10°)－2cos40°＝2tan70°·sin40°－2cos40°＝2(sin70°cos70°·sin40°－cos40°)＝2sin70°sin40°－cos40°cos70°cos70°＝2－cos110°cos70°＝2·cos70°cos70°＝2.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习探究1①注意观察各角之间的内在关系．②注意公式的逆运用进行化简．思考题1求tan20°＋4sin20°的值．【答案】3【解】原式＝sin20°cos20°＋4sin20°＝sin20°＋4sin20°cos20°cos20°＝sin20°＋2sin40°cos20°＝sin（30°－10°）＋2sin（30°＋10°）cos20°第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习＝32cos10°＋32sin10°cos20°＝332cos10°＋12sin10°cos20°＝3cos（30°－10°）cos20°＝3第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习题型二知值求值例2(1)已知sin(α＋π6)＝－45，α∈(－π2，π2)，求sinα的值．【解析】∵α∈(－π2，π2)∴α＋π6∈(－π3，2π3)又sin(α＋π6)＝－450∴α＋π6∈(－π3，0)∴cos(α＋π6)＝1－sin2α＋π6＝35∴sinα＝sin[(α＋π6)－π6]第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习＝sin(α＋π6)cosπ6－cos(α＋π6)·sinπ6＝(－45)32－35·12＝－43＋310(2)已知0＜β＜π4＜α＜34π，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习【分析】比较给出的角与待求式中的角的关系，不难发现(3π4＋β)－(π4－α)＝π2＋(α＋β)，或者是先将cos(π4－α)变化为sin(π4＋α)，再考虑(π4＋α)＋(34π＋β)＝π＋(α＋β)，再利用诱导公式即可出现α＋β，故只需求出相应角的正余弦值，利用两角和与差的三角公式即可．第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习【解析】cos(π4－α)＝sin(α＋π4)＝35∵π2＜α＋π4＜π，∴cos(α＋π4)＝－45.∵sin(3π4＋β)＝513，3π4＜β＋3π4＜π，∴cos(3π4＋β)＝－1213.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习∴sin(α＋β)＝－sin(α＋π4＋β＋3π4)＝－[sin(α＋π4)cos(β＋3π4)＋sin(β＋3π4)·cos(α＋π4)]＝5665第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习探究2本题属“给值求值”问题，通常是认真观察所给函数值中的角与所求函数式中的角之间的联系，通过“变角”“拼角”等手段来求解．思考题2(1)已知－π2β0απ2，cos(α－β)＝35，sinβ＝－513，求sinα的值．(2)若cosα＋cosβ＝12，sinα＋sinβ＝13，求cos(α－β)的值；第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习【解】(1)∵－π2β0απ2，∴0α－βπ.∵cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝45.又∵sinβ＝－513，－π2β0，∴cosβ＝1213故sinα＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)·sinβ＝45×1213＋35×(－513)＝3365.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习(2)【分析】本题主要考查两角和与差的正、余弦公式的熟练运用．因为cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，所以将已知两式平方后相加可得．【解析】∵cosα＋cosβ＝12，①sinα＋sinβ＝13，②①2＋②2，得2＋2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝14＋19即2＋2cos(α－β)＝1336.∴cos(α－β)＝－5972.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习例3已知：α，β为锐角，且cosα＝45，cos(α＋β)＝－1665，求cosβ的值．【思路分析】本题需要将β变为(α＋β)－α，创造条件利用公式．【解析】∵0α，βπ2，∴0α＋βπ，由cos(α＋β)＝－1665，得sin(α＋β)＝6365.题型三知值求角第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习又∵cosα＝45，∴sinα＝35.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－1665)×45＋6365×35＝513.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习探究3在解决三角函数求值问题时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，如：α＝(α＋β)－α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．思考题3已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，(1)求tan2α的值；(2)求β.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习【解析】(1)由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437，∴tanα＝sinαcosα＝437×71＝43.于是tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×431－432＝－8347第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习(2)由0βαπ2，得0α－βπ2又∵cos(α－β)＝1314.∴sin(α－β)＝1－cos2（α－β）＝1－（1314）2＝3314.由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12所以β＝π3.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习题型四三角函数的化简与证明例4化简(1)sin（α＋β）－2sinαcosβ2sinαsinβ＋cos（α＋β）；(2)11－tanθ－11＋tanθ；(3)315sinx＋35cosx.第四章·第3课时课时作业高三数学（人教版）授人以渔课前自助餐高考调研·新课标高考总复习【解析】(1)原式＝sinα·co