2017-2018学年河南省三门峡市高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河南省三门峡市高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=R，集合A={x0＜x＜4}，集合B={x3≤x＜5}，则A∩（∁UB）=（）A.{𝑥1≤𝑥3}B.{1,2}C.{𝑥𝑥≥5}D.{𝑥0𝑥3}2.若直线过点（1，2），（4，2+√3）则此直线的倾斜角是（）A.𝜋6B.𝜋4C.𝜋3D.𝜋23.设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（）A.𝐴𝐵𝑟B.𝐴𝐵=𝑟C.𝐴𝐵=√2𝑟D.𝐴𝐵√2𝑟4.函数𝑦=𝑥𝑎𝑥𝑥(𝑎＞1)的图象的大致形状是（）A.B.C.D.5.若a=ln2，𝑏=𝜋12，𝑐=𝑙𝑜𝑔12𝑒，则有（）A.𝑎𝑏𝑐B.𝑏𝑎𝑐C.𝑏𝑐𝑎D.𝑐𝑎𝑏6.三条直线l1：ax+by-1=0，l2：2x+（a+2）y+1=0，l3：bx-2y+1=0，若l1，l2都和l3垂直，则a+b等于（）A.−2B.6C.−2或6D.0或47.由一个正方体截去一个三棱锥所得的几何体的直观图如图所示，则该几何体的三视图正确的是（）A.B.C.D.8.已知m，n是空间两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（）A.𝑚⊥𝛼，𝛼⊥𝛽，𝑚//𝑛⇒𝑛//𝛽B.𝑚⊥𝛼，𝑚⊥𝑛，𝛼//𝛽⇒𝑛//𝛽C.𝑚//𝛼，𝑚⊥𝑛，𝛼//𝛽⇒𝑛⊥𝛽D.𝑚⊥𝛼，𝑚//𝑛，𝛼//𝛽⇒𝑛⊥𝛽9.已知定义域为R的偶函数f（x）在（-∞，0上是减函数，且𝑓(12)=2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（）A.(0,12)∪(2,+∞)B.(2,+∞)C.(0,√22)∪(√2,+∞)D.(0,√22)10.已知圆C：x2+y2+2x=0与过点A（1，0）的直线l有公共点，则直线l斜率的取值范围是（）A.[−√32,√32B.[−√33,√33C.[−12,12D.[−1,111.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，已知函数f（x）=（1⊕x）x-2（2⊕x）（x∈[-2，2），则满足f（m+1）≤f（3m）的实数的取值范围是（）A.[12,+∞)B.[12,2C.[12,23D.[−1,2312.已知函数f（x）={𝑎𝑥−𝑏+1,𝑥0𝑙𝑛(𝑥+1)+𝑚,𝑥≥0(𝑚＜−1)，对于任意s∈R且s≠0．均存在唯一实数t，使得f（s）=f（t），且s≠t．若关于x的方程f（x）=f（𝑚2）有4个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A.(−2,−1)B.(−1,0)C.(−4,−2)D.(−4,−1)∪(−1,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=1g（2x-1）的定义城为______．14.在平面直角坐标系中，动点P到两条直线3x-y=0与x+3y=0的距离之和等于2，则点P到坐标原点的距离的最小值为______．15.已知符号函数sgn（x）={1，𝑥＞00，𝑥=0−1，𝑥＜0，则函数f（x）=sgn（x）-2x的所有零点构成的集合为______．16.如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD最终，O为底面正方形的重心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，有下列结论：①PC∥平面OMN；②平面PCD∥平面OMN；③OM⊥PA；④直线PD与直线MN所成角的大小为90°．其中正确结论的序号是______．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.直线l经过两直线l1：2x-y+4=0与l2：x-y+5=0的交点，且与直线x-2y-6=0垂直．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若点P（a，1）到直线l的距离为√5，求实数a的值．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=60°，AB=2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BMD；（2）求证：AD⊥PB；（3）若AB=PD=2，求点A到平面BMD的距离．19.已知f（x）为定义在[-1，1上的奇函数，当x∈[-1，0时，函数解析式为f（x）=14𝑥-𝑏2𝑥（b∈R）（Ⅰ）求b的值，并求出f（x）在[0，1上的解析式；（Ⅱ）求f（x）在[0，1上的最值．20.如图，几何体EF-ABCD中，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB是腰长为2√2的等腰直角三角形，平面CDEF⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥AF；（Ⅱ）求几何体EF-ABCD的体积．21.已知圆M的方程为x2+（y-2）2=1，直线l的方程为x-2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当𝐶𝐷=√2时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．22.已知函数f（x）={−𝑥2+(𝑎+1)𝑥−𝑎(𝑥𝑎)𝑥2−(𝑎+1)𝑥+𝑎(𝑥≥𝑎)．（Ⅰ）若f（2）=a，求a的值；（Ⅱ）当a=2时，若对任意互不相等的实数x1，x2∈（m，m+4），都有𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)𝑥1−𝑥2＞0成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）判断函数g（x）=f（x）-x-2a（−12＜a＜0）在R上的零点的个数，并说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵（∁UB）={＜3或x≥5}，∴A∩（∁UB）={x0＜x＜3}．故选：D．先求∁UB，然后求A∩（∁UB）．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：设直线的倾斜角为α，则tanα==，又∵α∈[0，π，∴α=．故选：A．利用倾斜角、斜率的计算公式即可得出．本题考查了直线的倾斜角．熟练掌握倾斜角、斜率的计算公式是解题的关键．3.【答案】C【解析】解：∵由已知可得r=，而AB=，∴AB=r．故选：C．由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得AB，则答案可求．本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题．4.【答案】C【解析】解：f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，f（x）=，∴x＞0时，图象与y=ax在第一象限的图象一样，x＜0时，图象与y=ax的图象关于x轴对称，故选：C．f（x）中含有x，故f（x）是分段函数，根据x的正负写出分段函数的解析式，对照图象选择即可．本题考查识图问题，利用特值或转化为比较熟悉的函数，利用图象变换或利用函数的性质是识图问题常用的方法．5.【答案】B【解析】解：∵0＜a=ln2＜1，＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：B．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：l1，l2都和l3垂直，①若b=0，则a+2=0，解得a=-2，∴a+b=-2．②若b≠0，则-×=-1，-×=-1，联立解得a=2，b=4，∴a+b=6．综上可得：a+b的值为-2或6．故选：C．根据相互垂直的自尊心斜率之间的关系对b分类讨论即可得出．本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据三视图的画法，可得俯视图、侧视图，故选：D．画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等．依此画出该几何体的三视图．此题考查了作图-三视图，具体画法及步骤：①确定主视图位置，画出主视图；②在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”；③在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”、与俯视图“宽相等”．要注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．8.【答案】D【解析】解：对于A，m⊥α，α⊥β⇒m∥β或m⊂β，m∥n不可以得出n∥β，故A错误；对于B，m⊥α，m⊥n⇒n∥α或n⊂α，α∥β不可以得出n∥β，因此B不正确；对于C，m∥α，m⊥n，不可以得出m⊥α，故α∥β不可以得出n⊥β，因此C不正确；对于D，m⊥α，m∥n，可以得出n⊥α，故α∥β⇒n⊥β，因此D正确．故选：D．对4个选项分别进行判断，即可得出结论．本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．9.【答案】A【解析】解：由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（-∞，0上是减函数，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞=log42，或log4x＜-=，∴0＜x＜，或x＞2，故选：A．由题意知不等式即f（log4x）＞，即log4x＞，或log4x＜-，利用对数函数的定义域和单调性求出不等式的解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．10.【答案】B【解析】解：根据题意得，圆心（-1，0）r=1设直线方程为y-0=（x-1），即x-y-=0∴圆心到直线的距离d=≤1，解得≤故选：B．运用点到直线的距离公式和直线和圆的位置关系可解决．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式．11.【答案】C【解析】解：当-2≤x≤1时，f（x）=1•x-2×2=x-4；当1＜x≤2时，f（x）=x2•x-2×2=x3-4；所以f（x）=，易知，f（x）=x-4在[-2，1单调递增，f（x）=x3-4在（1，2单调递增，且-2≤x≤1时，f（x）max=-3，1＜x≤2时，f（x）min=-3，则f（x）在[-2，2上单调递增，所以f（m+1）≤f（3m）得：，解得：≤m≤，故选：C．据题中给出的定义，分当-2≤x≤1时和1＜x≤2时两种情况讨论，从而确定函数的解析式．结合函数的单调性分别算出最大值，再加以比较即可得到函数f（x）的最大值．本题给出新定义，求函数f（x）的最大值．着重考查了对新定义的理解和基本初等函数的性质，考查了分类讨论的数学思想和分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由题意可知f（x）在[0，+∞）上单调递增，值域为[m，+∞），∵对于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一实数t，使得f（s）=f（t），且s≠t，∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，值域为（m，+∞），∴a＜0，且-b+1=m，即b=1-m．∵f（x）=f（）有4个不相等的实数根，∴0＜f（）＜-m，又m＜-1，∴0＜＜-m，即0＜（+1）m＜-m，∴-4＜a＜-2，∴则a的取值范围是（-4，-2），故选：C．根据f（x）在[0，+∞）上的单调性和值域结合函数性质判断f（x）在（-∞，0）上的单调性和值域，得出a，b，m的关系，根据f（x）=f（）有4个不相等的实数根可知0＜f（）＜-m，由此求出a的范围得答案本题考查了函数的性质应用，函数图象的运用，属于中档题．13.【答案】（0，+∞）【解析】解：∵f（x）=lg（2x-1）根据对数函数定义得2x-1＞0，解得：x＞0故答案为：（0，+∞）根据对数函数定义得2x-1＞0，求出解集即可．考查学生理解函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围．会求不等式的解集．14.【答案】√2【解析】解：∵3x-y=0与x+3y=0的互相垂直，且交点为原点，∴设P到直线的距离分别为a，b，则a≥0，b≥0，则a+b=2，即b=2-a≥0，得0≤a≤2，由勾股定理可知OP===，∵0≤a≤2，∴当a=1时，OP的距离最小为OP==≥．故答案为：．先确定两条直线满足垂直关系，设出点到直线的距离分别为a，b，然后根据条件得到a+b=2，利用二次函数的性质即可求P到原点距离的最小值．本题主要考查点到距离的公式，利用二次函数的图象和性质是解决